108新竹高中
如果遺漏條件再請老師們補充填充7和計算1是完全沒印象...
想請教計算2，謝謝！
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補充：
填充1. 方程式條件：\(f(x)\)為整係數方程式
填充7. 是 a為實數，\(x^3-(a^2-2a-2)x-2a^2-2a=0\) 有3個整數根，求a之可能的值
填充9. 一個邊長為1的正立方體 \(ABCD-EFGH\)在\(AB\)、\(AD\)、\(AE\)邊上分別取中點\(P\)、\(Q\)、\(R\)並以三角形\(PQR\)為底面做一個三角柱，此三角柱的另一個面也在正立方體的表面上 求三角柱體積
填充10. 四面體\(OABC\)，\(OA=1,OB=2,OA=3\) ，底面\(\angle {ABC}, \angle{BCA}\) 皆為銳角（我忘記是哪兩個角），\(\angle{AOB}=10^\circ, \angle {BOC}=50^\circ, \angle{COA}=70^\circ\) （不確定是不是30度），平面\(ABO\)和平面\(BOC\) 夾\(70^\circ\)，求四面體體積
計算3. 遞迴式裡面是加號：\(a_n=(1+\frac{1}{n-1})a_{n-1}+\frac{n}{2^{n-1}},~n\geq 2\)
感謝底下幫忙回憶的老師們～ 計1 （1）求\(∠C\)為何
（2） 若\(a+b=kc\)求\(k\)的最大還是最小值？ （已更正圖片）先分享三題，希望小弟沒有做錯...
填充3.
求方程式\((\sqrt{x}+1)sinx=4\)在區間\(\left[0,20\pi \right]\)的實根個數為[u] [/u]。
計算3.
設數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)的遞迴關係式如下：
\(\cases{\displaystyle a_1=1 \cr a_n=(1+\frac{1}{n-1}a_{n-1})+\frac{n}{2^{n-1}}}(n \ge 2,n \in N)\)
(1)求數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)的一般式(以\(n\))表示。
(2)若數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)的前\(n\)項和為\(S_n\)，則\(S_{11}=\)？
計算5.
不透明箱內有編號分別為1至20的二十個球，每次隨機取出一個球，每球取到的機率都相同，記錄其編號後放回箱內；將前\(n\)次取球編號之總和為3的倍數的機率以\(P_n\)表示。
(1)試求\(P_n\)(以\(n\)表示)。
(2)試求滿足\(\displaystyle |\; P_n-\lim_{n \to \infty}P_n|\;<10^{-8}\)的最小自然數\(n\)。 填充7 一個邊長為1的正立方體 ABCD-EFGH在AB、AD、AE邊上分別取中點P、Q、R並以三角形PQR為底面做一個三角柱，此三角柱的另一個面也在正立方體的表面上 求三角柱體積
印象是這樣
[[i] 本帖最後由 Christina 於 2019-4-13 18:42 編輯 [/i]] 填充10，四面體\( OABC \)，\( \overline{OA}=1,\overline{OB}=2,\overline{OA}=3 \)，底面\( \angle ABC,\angle BCA \)皆為銳角（我忘記是哪兩個角），\( \angle AOB=10^{\circ}, \angle BOC=30^{\circ}, \angle COA=70^{\circ} \)（不確定是不是30度），求四面體體積
回復 1# royan0837 的帖子
計算第 2 題設\(f(x)=-x^3+ax^2+bx+c(a,b,c \in R)\)，當\(x<0\)時\(f(x)\)為嚴格遞減函數，\(0<x<1\)時\(f(x)\)為嚴格遞增函數，且\(f(x)=0\)有三個實根，1為其中一個實根。
(1)求\(f(2)\)的範圍。
(2)試就\(a\)值討論直線\(L\)：\(y=x-1\)與曲線\(y=f(x)\)交點的個數。
\(\begin{align}
& f(x)=-{{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c \\
& f'(x)=-3{{x}^{2}}+2ax+b \\
\end{align}\)
\(f\left( x \right)\)在\(\left( -\infty ,0 \right)\)嚴格遞減，在\(\left( 0,1 \right)\)嚴格遞增，\(f\left( 1 \right)=0\)
\(\begin{align}
& f'\left( 0 \right)=0,b=0 \\
& f'\left( 1 \right)=-3+2a+b>0,a>\frac{3}{2} \\
& f\left( 1 \right)=-1+a+b+c=0,c=1-a \\
& \\
& f\left( 2 \right)=-8+4a+2b+c=3a-7>-\frac{5}{2} \\
& \\
& f\left( x \right)=-{{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+1-a \\
\end{align}\)
第 (2) 小題就討論\(-{{x}^{3}}+a{{x}^{2}}-x+2-a=\left( x-1 \right)\left[ -{{x}^{2}}+\left( a-1 \right)x+\left( a-2 \right) \right]=0\)之實根個數，就不做了
不過要注意 a = 2 時，有三實根(含兩重根)，但交點數只有 2 個
[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2019-4-13 18:43 編輯 [/i]]
回復 5# zidanesquall 的帖子
是角BOC=50° 平面ABO和平面BOC 夾70°回復 4# Christina 的帖子
填充7、9、10[[i] 本帖最後由 Almighty 於 2019-4-13 19:22 編輯 [/i]] 謝謝老師幫忙～～^_^
回復 6# thepiano 的帖子
謝謝piano老師！ 我將題目用tex打成pdf檔，再看看是不是有哪裡有錯，我再修正（更新）請至14樓下載
[[i] 本帖最後由 zidanesquall 於 2019-4-14 09:56 編輯 [/i]]
回復 11# zidanesquall 的帖子
第4題，x應該是考慮在0~2*pi之間，[b]相異[/b]實數解之和第8題，點[b]P(z)[/b]=[i]cosx+i×sinx[/i](即在單位圓上)，還有[i]P、Q、R[/i]不共線
[[i] 本帖最後由 Almighty 於 2019-4-14 01:26 編輯 [/i]] 分享一下，希望如果順利的話
填充8，忘記有沒有強調四邊形頂點順序PQRS
當下畫圖是不符合順序，但似乎剛好一樣結果
[[i] 本帖最後由 Almighty 於 2019-6-6 20:40 編輯 [/i]]
回復 12# Almighty 的帖子
感謝修正～～這是修正過的檔案感謝Amighty，計算五修正完成
感謝鋼琴大，修正完成
[[i] 本帖最後由 zidanesquall 於 2019-4-14 21:16 編輯 [/i]]
回復 14# zidanesquall 的帖子
還有發現，計算5P_n —lim P_n
誤植成= 想請教填充1以及填充10
回復 16# z78569 的帖子
填充1已知關於\(x\)的整係數方程式\(x^2+(k+3)x+(2k+3)=0\)有一正根和一負根，且正根的絕對值小於負根的絕對值，則此方程式的正根為[u] [/u]。
[解答]
兩根和\(-(k+3)<0\), 且兩根積\(2k+3<0\)
又因為整係數方程式,所以\(k=-2\)
請問填充4和6,謝謝
回復 17# z78569 的帖子
1.已知關於\(x\)的整係數方程式\(x^2+(k+3)x+(2k+3)=0\)有一正根和一負根，且正根的絕對值小於負根的絕對值，則此方程式的正根為[u] [/u]。
[解答]
\(x^2+(k+3)x+(2k+3)=0\) 有一正根一負根
判別式 \(> 0\) ，兩根積 \(<0\) ，對稱軸 \(x+\frac{k+3}{2}=0\) 在 \(y\) 軸左方
因此 \((k+3)^{2}-4(2k+3)> 0\) ，\(2k+3<0\)，\(\frac{k+3}{2} > 0\)
整理得 \(-3<k<-\frac{3}{2} \)
因為 \(k\) 為整數，所以 \(k=-2\)
10.
四面體\(OABC\)，\(\overline{OA}=1,\overline{OB}=2,\overline{OC}=3\)，\(∠AOB=10^{\circ}\)，\(∠BOC=50^{\circ}\)，\(\Delta AOB\)和\(\Delta BOC\)兩面角為\(70^{\circ}\)，求四面體OABC體積為[u] [/u]。
[解答]
體積為 \(\frac{1}{3}\times\)底面積\(\times\)高
\(=\frac{1}{3}\times(\frac{1}{2}\times1\times 2 \times\sin{10^{\circ}})\times(3\times\sin{50^{\circ}}\times\sin{70^{\circ}})\)
\(=\sin{10^{\circ}}\sin{50^{\circ}}\sin{70^{\circ}}\)
\(=\frac{1}{4}\times \sin{30^{\circ}}\)
\(=\frac{1}{8}\)
[[i] 本帖最後由 czk0622 於 2019-4-15 20:02 編輯 [/i]]
回復 18# czk0622 的帖子
填充第 1 題除了判別式\({{\left( k+3 \right)}^{2}}-4\left( 2k+3 \right)>0\)之外，還有兩根和\(-\left( k+3 \right)<0\)及兩根積\(2k+3<0\)
\(\begin{align}
& -3<k<-\frac{3}{2} \\
& k=-2 \\
\end{align}\)
[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2019-4-14 16:54 編輯 [/i]]
回復 17# lin200877 的帖子
填充第6題應是\(0\le x\le 2\pi \)吧？
\(5\sin \left( \frac{\pi }{3}x \right)\)的週期是6，\(3\sin \left( \frac{\pi }{5}x \right)\)的週期是10
分別畫出其圖形，可知\(x=2\pi \)時有最大值
最小值就難囉