107台中一中段考題
設\(n\)為自然數，\(\displaystyle S_n=\frac{1 \cdot 2^1}{2 \cdot 3}+\frac{2 \cdot 2^2}{3 \cdot 4}+\frac{3 \cdot 2^3}{4 \cdot 5}+\ldots+\frac{n \cdot 2^n}{(n+1)\cdot (n+2)}\)，\(T_n=2+2^2+2^3+\ldots+2^n\)，試求滿足\(|\;(n+2)S_n-T_n|\;>86\)之最小自然數\(n=\)[u] [/u]。答案是87，求計算過程，主要問題是在Sn的通項。 [size=3]利用 bugmerns 老師筆記裡所傳授的 "裂項相消" 技巧，考慮一般項[/size]
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[size=3](n-1)* 2ⁿ⁻¹ / n*(n+1) = 2ⁿ /(n+1) - 2ⁿ⁻¹ /n[/size]
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[size=3]相加對消後得[/size]
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[size=3]S[size=2]n[/size] = 2ⁿ⁺¹ /(n+2) - 1[/size]
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[size=3]|(n+2)*S[size=2]n[/size][/size][size=3] - T[size=2]n[/size]| = |-n[size=3]| = n[/size][/size]
[size=3]所求 = 87[/size] 感謝你
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