數列與機率的題目
已知兩函數\(\displaystyle f(x)=\frac{x}{2}\)、\(\displaystyle g(x)=\frac{x+6}{2}\)及一數列\(\langle\;x_n\rangle\;\)，數列的首項\(x_1=3\)，而第二項的規則是，先丟一個公正的硬幣，若為正面，則\(x_2=f(x_1)\)，若為反面，則\(x_2=g(x_1)\)，之後，對於自然數\(n\)，先丟一個公正的硬幣，若為正面，則\(x_{n+1}=f(x_n)\)，若為反面，則\(x_{n+1}=g(x_n)\)，假設\(0<x_n<2\)、\(2\le x_n<4\)及\(4\le x_n<6\)的機率分別為\(a_n\)、\(b_n\)及\(c_n\)，則：(1)試比較\(a_n\)及\(c_n\)的大小。答：[u] [/u]。(寫出\(a_n>c_n\)、\(a_n=c_n\)、\(a_n<c_n\)其中一個)
(2)\(a_n=\)[u] [/u](以\(n\)表示，不包含\(n\)以外的變數。提示：可利用\(a_n\)與\(a_{n+1}\)的關係)
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a_n = (1/2)a_(n-1) + (1/2)b_(n-1)b_n = (1/2)a_(n-1) + (1/2)c_(n-1)
c_n = (1/2)b_(n-1) + (1/2)c_(n-1)
a_n - c_n = (1/2)a_(n-1) - (1/2)c_(n-1)
a_1 = c_1 = 0
a_n = c_n
b_n = a_(n-1)
a_n = (1/2)a_(n-1) + (1/2)a_(n-2)
由特徵方程可得 a_n = (1/3) - (1/3)(-1/2)^(n-1)
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