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Exponential 發表於 2019-1-16 15:05

空間向量的題目

10.
\(\vec{a}\),\(\vec{b}\),\(\vec{c}\)是空間的三個單位向量,對於任意單位向量\(\vec{d}\),恆使\((\vec{a}\cdot \vec{d})^2+(\vec{b}\cdot \vec{d})^2+(\vec{c}\cdot \vec{d})^2\)之值為定值\(k\)
(1)試求\(k\)之值[u]   [/u]
(2)若\(\vec{p}=\vec{a}+2\vec{b}+3\vec{c}\),則\((\vec{a}\cdot \vec{p})^2+(\vec{b}\cdot \vec{p})^2+(\vec{c}\cdot \vec{p})^2\)之值為[u]   [/u]

請教第10題是否有什麼特別的定理可以佐證此結論?

cefepime 發表於 2019-1-16 20:36

[size=3]第 10 題[/size]
[size=3][/size]
[size=3]這裡的單位向量 a,b,c 並非任意的 (取三者相等,或"幾乎相等" 即知),而是須滿足某條件,即:[/size]
[size=3][/size]
[size=3]向量 a,b,c 兩兩垂直[/size]
[size=3][/size]
[size=3]則易知 (或用方向餘弦的觀念):  k =1[/size]
[size=3][/size]

Exponential 發表於 2019-1-16 20:43

回復cemepime

所以只有三者相互垂直才會產生定值嗎?

cefepime 發表於 2019-1-16 21:02

[b]回復 3# Exponential 的帖子[/b]

[size=3]以下是我的推理過程,您看看有沒有錯:[/size]
[size=3][/size]
[size=3]令 a,b,c 為符合題意的三個單位向量,考慮與 a,b 皆垂直的單位向量 d,則[/size]
[size=3][/size]
[size=3]k ≤ 1[/size]
[size=3][/size]
[size=3]再考慮 d = c,則[/size]
[size=3][/size]
[size=3]k ≥ 1[/size]
[size=3][/size]
[size=3]⇒ k = 1,且 c 與 a,b 皆垂直[/size]
[size=3][/size]
[size=3]⇒ 向量 a,b,c 兩兩垂直[/size]
[size=3][/size]
[size=3]易知 (或由方向餘弦的觀念) 此情形滿足題目要求。[/size]
[size=3][/size]

Exponential 發表於 2019-1-16 21:15

為何d=c會是k大於?1

cefepime 發表於 2019-1-16 21:40

[color=black][b]回復 5# Exponential 的帖子[/b][/color]

[size=3]d = c 時,d 與 c 的內積 = 1,而另兩項平方和 ≥ 0[/size]
[size=3][/size]
[size=3]故 k ≥ 1[/size]
[size=3][/size]

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