空間向量的題目
10.\(\vec{a}\),\(\vec{b}\),\(\vec{c}\)是空間的三個單位向量，對於任意單位向量\(\vec{d}\)，恆使\((\vec{a}\cdot \vec{d})^2+(\vec{b}\cdot \vec{d})^2+(\vec{c}\cdot \vec{d})^2\)之值為定值\(k\)
(1)試求\(k\)之值[u] [/u]
(2)若\(\vec{p}=\vec{a}+2\vec{b}+3\vec{c}\)，則\((\vec{a}\cdot \vec{p})^2+(\vec{b}\cdot \vec{p})^2+(\vec{c}\cdot \vec{p})^2\)之值為[u] [/u]
請教第10題是否有什麼特別的定理可以佐證此結論？ [size=3]第 10 題[/size]
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[size=3]這裡的單位向量 a，b，c 並非任意的 (取三者相等，或"幾乎相等" 即知)，而是須滿足某條件，即:[/size]
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[size=3]向量 a，b，c 兩兩垂直[/size]
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[size=3]則易知 (或用方向餘弦的觀念): k =1[/size]
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回復cemepime
所以只有三者相互垂直才會產生定值嗎？ [b]回復 3# Exponential 的帖子[/b][size=3]以下是我的推理過程，您看看有沒有錯:[/size]
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[size=3]令 a，b，c 為符合題意的三個單位向量，考慮與 a，b 皆垂直的單位向量 d，則[/size]
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[size=3]k ≤ 1[/size]
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[size=3]再考慮 d = c，則[/size]
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[size=3]k ≥ 1[/size]
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[size=3]⇒ k = 1，且 c 與 a，b 皆垂直[/size]
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[size=3]⇒ 向量 a，b，c 兩兩垂直[/size]
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[size=3]易知 (或由方向餘弦的觀念) 此情形滿足題目要求。[/size]
[size=3][/size] 為何d=c會是k大於？1 [color=black][b]回復 5# Exponential 的帖子[/b][/color]
[size=3]d = c 時，d 與 c 的內積 = 1，而另兩項平方和 ≥ 0[/size]
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[size=3]故 k ≥ 1[/size]
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