Math Pro 數學補給站 » 高中的數學 » 107張進通許世賢數學競賽

niklacage 發表於 2018-12-12 23:19

107張進通許世賢數學競賽

5.
將\(\underbrace{555\ldots 5}_{100個} \times \underbrace{666 \ldots 6}_{100個}\)的乘積以十進位表示，求各位數字的總和=[u]　　　[/u]。

歷屆試題
h ttps://www.cysh.cy.edu.tw/files/11-1001-234.php　連結已失效

thepiano 發表於 2018-12-13 13:02

回復 1# niklacage 的帖子

第 1 題
方程組\(\cases{x^2-y^2=3(xz+yz+x+y)\cr y^2-z^2=3(yx+zx+y+z)\cr z^2-x^2=3(zy+xy+z+x)}\)的解\((x,y,z)\)共有[u]　　　[/u]組。
[解答]
(x + y)(x - y) = 3(x + y)(z + 1)
(y + z)(y - z) = 3(y + z)(x + 1)
(z + x)(z - x) = 3(z + x)(y + 1)

(1) x + y、y + z、z + x 三者均為 0
可解出 (x，y，z) = (0，0，0)

(2) x + y、y + z、z + x 恰有兩個為 0
可解出 (x，y，z) = (1，-1，1)、(1，1，-1)、(-1，1，1)

(3) x + y、y + z、z + x 恰有一個為 0
可解出 (-3，3，9)、(9，-3，3)、(3，9，-3)

(4) x + y、y + z、z + x 三者均不為 0
可解出 (x，y，z) = (-1，-1，-1)

cefepime 發表於 2018-12-13 23:49

[size=3]第2題

所求即 111...111 (100 個 1) * 333...333 (100 個 3) 以十進位表示的各位數字總和。

[/size]
[size=3]令 A =  999...999 (100 個 9)，先考慮 A²，再將之除以 9 再除以 3，以利觀察其各位數字之規律。


[/size][size=3]A² = (10¹⁰⁰-1)² = 10²⁰⁰- 2*10¹⁰⁰ +1 = 999...999 (99 個 9) 8 000...000 (99 個 0) 1

除以 9 得:  111...111 (99 個 1) 0 888...888 (99 個 8) 9

再除以 3 得: 37037...037 (33 個 37) 0 296296...296 (33 個 296) 3

所求 = 33*27 + 3 = 894

[/size][size=3][/size]

niklacage 發表於 2018-12-16 01:48

感謝指導。

王重鈞 發表於 2018-12-17 00:10

#回覆樓主

小弟第一眼的想法 剛好有空寫一下是有規律的 淺見僅供參考
ps:cefepime大解的真完美

LS0722 發表於 2022-10-10 22:32

107數學一問題請教。

您好，想請教一下當年度的數學一的第4題，答案為46度，感謝！
[attach]6476[/attach]

Lopez 發表於 2022-10-11 03:15

回覆 6# LS0722 的帖子

[img]https://upload.cc/i1/2022/10/11/I0YdD4.png[/img]

enlighten0626 發表於 2022-10-14 22:26

請教數學一試題的第16題

thepiano 發表於 2022-10-15 13:30

回覆 8# enlighten0626 的帖子

由圓冪定理，易知半徑為 5/2

角 CBA 是優弧 BF 之半，角 BDF 是劣弧 BF 之半
由題目的條件，可求出劣弧 BF 為 90 度

剩下的就相似比一比，答案應是 750/91

Lopez 發表於 2022-10-15 15:16

回覆 8# enlighten0626 的帖子

[img]https://upload.cc/i1/2022/10/15/y86Rj4.png[/img]

enlighten0626 發表於 2022-10-15 16:35

謝謝以上老師的回覆

不好意思，再請教第四小題

[[i] 本帖最後由 enlighten0626 於 2022-10-15 17:10 編輯 [/i]]

thepiano 發表於 2022-10-15 23:07

回覆 11# enlighten0626 的帖子

CO / DO = CG / DM = 3 / 2
CO = 6/5
AC = 2 根號 3
再用畢氏定理可求出 AO = (4/5) 根號 21

enlighten0626 發表於 2022-10-19 15:05

回覆 12# thepiano 的帖子

謝謝老師解惑

laylay 發表於 2022-10-21 14:24

填充四.

令 bn=1/an , b1=1/a1=1
則1/b(n+1)=(1/bn)/(1+n/bn)=1/(bn+n)  =>  b(n+1)=bn+n
         b2=b1+1
         b3=b2+2
.....................
+ b2018=b2017+2017
___________________
   b2018=1+(1+2017)*2017/2=2035154  => a2018=1/2035154

laylay 發表於 2022-10-21 14:48

填充3.

原式=(2ab)^2-(a^2+b^2-c^2)^2
       =((a+b)^2-c^2)(c^2-(a-b)^2)
       =(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)

laylay 發表於 2022-10-24 13:46

證明一.

令   S=1/2*3/4*5/6*......*97/98*99/100      (1)
則   S<2/3*4/5*6/7*......*98/99*100/100    (2)
       S>1/2*2/3*4/5*......*96/97*98/99        (3)
(1)*(2) 得 S^2<1/100  得證 S<1/10
(1)*(3) 得 S^2>1/200>1/225 得證 S>1/15
S=C(100,50)/2^100 剛好表示兩人猜拳100 次(平手不計) 各贏50次的機率=0.079589...會介於1/15 至 1/10 之間
以後這一題可以改成求證丟一百枚公正硬幣剛好出現正反兩面個數一樣多的機率會介於1/15,1/10之間更有意思！

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