Math Pro 數學補給站 » 高中的數學 » 調和數列的不等式

larson 發表於 2018-11-28 11:55

調和數列的不等式

請問這條不等式，若不用數學歸納法，有其他的解法嗎？數論、微積分、…皆可
證明對所有大於1的整數\(n\)，\(\displaystyle 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}>\frac{2n}{n+1}\)。

weiye 發表於 2018-11-28 12:13

回復 1# larson 的帖子

[attach]4749[/attach]

cefepime 發表於 2018-11-28 17:25

[size=3]另證:[/size]
[size=3][/size]
[size=3]1. 柯西不等式[/size]
[size=3][/size]
[size=3]2. 冪平均不等式[/size]
[size=3][/size]
[size=3]3. Jensen 不等式[/size]
[size=3][/size]
[size=3]4. 排序不等式

[/size]

[[i] 本帖最後由 cefepime 於 2018-11-28 23:59 編輯 [/i]]

larson 發表於 2018-11-29 07:39

回復 2# weiye 的帖子

感謝。

larson 發表於 2018-11-29 14:29

回復 3# cefepime 的帖子

請問冪平均不等式如何操作？

cefepime 發表於 2018-11-29 14:38

[b]回復 5# larson 的帖子[/b]

[size=3]1, 1/2, ..., 1/n 諸正數的算術平均 > 調和平均。[/size]

larson 發表於 2018-11-29 15:38

回復 6# cefepime 的帖子

非常感謝你的回覆。
我原本以為你指的冪平均（power mean）是以下這一個
[url]https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%82%E5%B9%B3%E5%9D%87[/url]

cefepime 發表於 2018-11-29 16:07

[b]回復 7# larson 的帖子[/b]

[size=3]就是指如聯結的那個沒錯呀。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]算術平均: p = 1 的冪平均[/size]

[size=3]調和平均: p = -1 的冪平均[/size]

laylay 發表於 2018-12-7 09:01

回復 1# larson 的帖子

n=2 時 1+1/2=3/2>4/3=2*2/(2+1),成立
n=3 時 1+1/2+1/3=11/6>6/4=2*3/(3+1),成立
n>=4 時 左式>=1+1/2+1/3+1/4>1+1/2+1/4+1/4=2>2n/(n+1)=右式,成立
得證本題

[[i] 本帖最後由 laylay 於 2018-12-7 09:09 編輯 [/i]]

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