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larson 發表於 2018-9-26 11:37

直線與圓的問題

設\( \displaystyle sin\alpha+sin\beta=\frac{6}{5}\)：
(1)試利用圓與直線的關係，求\(cos \alpha+cos \beta\)的範圍。
(2)若又知\(\displaystyle cos \alpha+cos \beta=\frac{5}{6}\)，試利用直線的斜率求\( \displaystyle tan \frac{\alpha+\beta}{2} \)。

cefepime 發表於 2018-10-3 20:30

[size=3](1)[/size]
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[size=3]A (cosα, sinα) 與 B (cosβ, sinβ) 為單位圓上 2 點[/size]
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[size=3]sinα + sinβ = 6/5 ⇒ A，B 的中點在 y = 3/5 上[/size]
[size=3][/size]
[size=3]易知: A，B 的中點形成的軌跡，即 y = 3/5[/size] [size=3]在單位圓上截出的弦，其兩端為 (4/5, 3/5) 與 (- 4/5, 3/5)[/size]
[size=3][/size]
[size=3]考慮 (cosα + cosβ) /2 的範圍，即該弦的 x 坐標範圍[/size]
[size=3][/size]
[size=3]⇒ - 8/5 ≤ cosα + cosβ ≤ 8/5[/size]
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[size=3][/size]
[size=3](2)[/size]
[size=3][/size]
[size=3]cosα + cosβ = 5/6 ⇒ A，B 的中點為 M (5/12, 3/5)[/size]
[size=3][/size]
[size=3]⇒ A，B 的位置為: 過 M 作垂直 OM 之直線，與單位圓之兩交點 (O 為原點)[/size]
[size=3][/size]
[size=3]⇒ tan [(α + β)/2 ] 表 OM 直線的斜率 = 36 /25[/size]
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[size=3][/size]

larson 發表於 2018-10-4 09:13

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感謝

larson 發表於 2018-10-4 11:12

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