107內湖高工代理
留一下紀錄吧 14.三角形三邊長為正整數，\( ∠A=2∠B \)，\(∠C>90^{\circ}\)，求\(\Delta ABC\)周長最小值[u] [/u]。
[url]http://www.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1991_USAMO_Problems/Problem_1[/url]
(USA USAMO 1991)
92國立三重高中，[url]https://math.pro/db/thread-869-1-1.html[/url]
參考答案
1. 19942. 7
3. 2.5
4. 3
5. 1125,105
6. \( \displaystyle -\frac{\sqrt{3}}{2}<m<\frac{\sqrt{3}}{2} \)
7. 42
8. 4
9. \(\displaystyle \frac{16}{5}\)
10. \(\displaystyle \frac{3+\sqrt{33}}{8}\)
11. \(-3<x \le 5\)
12. \( \displaystyle \frac{9}{4} \)
13. \( \displaystyle -\frac{1}{5} \)
14. 77
15. \(ln 2\)
16. 懷疑出錯
17. \(\overline{AF}=\sqrt{10-2\sqrt{5}}\)
不知道有沒有算錯，請各位老師不吝指教，謝謝 第10題答案是\(\displaystyle \frac{3-\sqrt{33}}{8}\) 想請教第6題，我假設直線為\(y=m(x+1)+2\)代入雙曲線求判別式>0，算出來的結果與#kyrandia 老師提供的答案不一樣，不知道小弟是不是哪裡算錯了？！
回復 5# beaglewu 的帖子
第6題點\(P(-1,2)\)及雙曲線\(3x^2-4y^2=12\)，若過\(P\)的直線與雙曲線交於相異兩點，求此直線的斜率\(m\)的範圍。
[解答]
#3 樓的想法應該是考慮漸近線，
而圖形的解法，應該考慮兩切線斜率 \( -1, \frac 73\)，再看斜率在 \( (-\infty, -1), (-1, \frac73), (\frac73, \infty) \) 三段圖形的變化是幾個交點。
還要小心接近漸近線斜率時，其中一個交點往無窮遠跑。
省略一些計算，答案應為 \( -1 < m < -\frac{\sqrt{3}}{2} \) 或 \( -\frac{\sqrt{3}}{2} < m < \frac{\sqrt{3}}{2} \) 或 \( \frac{\sqrt{3}}{2} < m < \frac73 \)
回復 6# tsusy 的帖子
謝謝寸絲老師詳細的說明！回復 3# kyrandia 的帖子
第7題答案應為6一圓形跑道上有\(A,I,T\)三地點，一賽車自\(A\)出發，經\(I\)再經\(T\)環繞跑道，然而賽車在\(I\)、\(T\)處的故障率分別為\(\displaystyle \frac{1}{10}\)、\(\displaystyle \frac{1}{21}\)，求賽車環繞跑道的圈數期望值為何？
104成德高中考過，
[url]https://math.pro/db/thread-2286-3-9.html[/url]
請教3、14、17
3.在某入場券販賣處的窗口，在開始販賣前就形成購買入場券的行列，而在開始販賣時有40。由於販賣後也以一定的比例聚集購買的人，因此在1個窗口，到這個行列消失要花10分鐘。再者，如果窗口有2個的話，這個行列只要4分鐘就不見了。如果窗口為3個的話，這個行列需要[u] [/u]分鐘才會消失呢？但在窗口賣入場券的時間，任何人都相同。
打擾了！想請教老師一些題目，
3的題意我看不太懂，一定比例是指每分鐘的聚集人數嗎？我按照這個想法列式算起來很怪。
14我採用正弦定理不知道方向有沒有錯，但最後不知道怎麼做下去。
17的話想問說證明的部分是只能這樣寫嗎？所以得使用sin36才能證明嗎？
回復 9# L.Y. 的帖子
14題 2樓bugmens老師已貼答案連結\(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}<cos\theta <1\)
在該範圍內找分母越小越好的分數，取\(\displaystyle \frac{7}{8}\)
所求\(\displaystyle b:a:c=1:\frac{7}{4}:\frac{33}{16}=16:28:33\)
所求為77
回復 9# L.Y. 的帖子
第 3 題在某入場券販賣處的窗口，在開始販賣前就形成購買入場券的行列，而在開始販賣時有40。由於販賣後也以一定的比例聚集購買的人，因此在1個窗口，到這個行列消失要花10分鐘。再者，如果窗口有2個的話，這個行列只要4分鐘就不見了。如果窗口為3個的話，這個行列需要[u] [/u]分鐘才會消失呢？但在窗口賣入場券的時間，任何人都相同。
[提示]
以一定的比例聚集購買的人，應是指每分鐘的聚集人數一樣
第 17 題
(1)右下的圓\(O\)中，\(\overline{AB}\)是直徑，\(O\)為圓心，\(\overline{OC}\perp \overline{AB}\)，\(\overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC}=2\)，\(D\)為\(\overline{OC}\)上一點且\(\overline{OD}=1\)，\(\overline{DE}\)平分\(\angle ODA\)交\(\overline{AB}\)於\(E\)點，過\(E\)作\(\overline{AB}\)的垂線交半圓於\(F\)點，求\(\overline{AF}\)之長為何？[u] [/u]
(2)求證：\(\overline{AF}\)為五邊形\(AFKLM\)的邊長。
[提示]
(2) AF 不會是 4sin∠AOF
這題用餘弦做就可以了
回復 10# satsuki931000 的帖子
沒注意到有解答，謝謝satsuki老師！不知為何一直在想怎麼找離cos30最近的有理數，太蠢了。
回復 11# thepiano 的帖子
抱歉寫太快，應該是 4sin∠(1/2*AOF)好的謝謝鋼琴老師！
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更
我知道我第三題卡在哪裡了，我把它以每分鐘單位(我想成即使只有9.2分鐘也要說需要10分鐘)
所以列了很多不等式
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