回復 20# cut6997 的帖子
z , z^8 , z^28 都在以原點為圓心,半徑1的圓上,且z^28=z^8+(1+0i) (向右平移一 個單位長,在單位圓上水平弦長為1的顯然就只有我圖中正六邊形的那上下邊的兩處吧) ,
以複數平面的向量觀點而言,z^8的幅角=120或240度,其他角度會使 z^28 跑到單位圓外去,顯然都不合.
回復 19# Ellipse 的帖子
在此非常感謝您的指導跟提供喔 !C(14,7)-C(14,8)=C(14,7)/8=429 實在太妙了 ! [quote]原帖由 [i]laylay[/i] 於 2018-6-17 06:41 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=18848&ptid=2975][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
在此非常感謝您的指導跟提供喔 !
C(14,7)-C(14,8)=C(14,7)/8=429 實在太妙了 ! [/quote]
別客氣喔~您也是高手~
"C(2n,n)/(n+1) [卡塔蘭數] 竟然也只是鉤長公式(Hook length formula)的特例而已"
參考下列FB的討論:
[url]https://www.facebook.com/groups/chetingmath/[/url] 請教各位老師17,18
回復 24# litlesweetx 的帖子
17.設兩複數\(z\)、\(w\)滿足\(|\;z+3-3i|\;=2\)，\(|\;iw-1|\;=1\)，則\(|\;z-w|\;\)之最大值為[u] [/u]。
[解答]
\(\left| z+3-3i \right|=2\)在高斯平面上是圓\({{\left( x+3 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}={{2}^{2}}\)
\(\left| iw-1 \right|=\left| w+i \right|=1\)在高斯平面上是圓\({{x}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}={{1}^{2}}\)
……
18.
方程式\(sin x-3cos x=k\)，在\(0\le x \le \pi\)的範圍內，有兩個相異的實數解，求實數\(k\)的範圍為[u] [/u]。
[解答]
\(\begin{align}
& \sin x-3\cos x=\sqrt{10}\sin \left( x-\theta \right) \\
& \sin \theta =\frac{3}{\sqrt{10}},\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{10}} \\
\end{align}\)
觀察\(y=\sqrt{10}\sin \left( x-\theta \right)\)與\(y=k\)之圖形，何時會有兩交點
……
109.6.6補充
(109全國高中職聯招，[url]https://math.pro/db/thread-3342-1-1.html[/url])
回復 25# thepiano 的帖子
老師您好，請問一下，18題 k範圍的左端點為何不是0而是3呢？謝謝。回復 26# bettytsai 的帖子
該圖形是 y = √10sinx 往右平移，左邊界會出現在 x = π 時回復 1# thepiano 的帖子
請教選擇第一題回復 28# nanpolend 的帖子
1.\(x^{10}+x^8+x^6+x^4+x^2+1=0\)之所有根在複數平面上所對應之點，所圍成的凸多邊形面積為
(1)\(\displaystyle \frac{5}{2}\) (2)\(\displaystyle 2+\frac{\sqrt{3}}{2}\) (3)3 (4)4 (5)\(3\sqrt{3}\)
[解答]
\(\begin{align}
& \left( {{x}^{2}}-1 \right)\left( {{x}^{10}}+{{x}^{8}}+{{x}^{6}}+{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1 \right)=0 \\
& {{x}^{12}}-1=0 \\
\end{align}\)
\({{x}^{12}}=1\) 的十二個根，扣掉 \(\pm 1\)，就是那十個根
把圖畫出來就簡單了
回復 1# thepiano 的帖子
請教選擇第5題第10題填充11.回復 30# nanpolend 的帖子
選擇1010.
集合\({1,2,3,\ldots,60}\)的子集合\(S\)，其中\(S\)滿足任兩個元素的和不為7的倍數，則\(n(S)\)的最大值為
(1)6 (2)17 (3)14 (4)27 (5)28
[解答]
1~60的整數裡面分成7類
7K:8個
7K+1，7K+2，7K+3，7K+4皆9個
7K+5，7K+6皆8個
容易判斷出至少取7K+1，7K+2，7K+3 共27個可滿足題意
此時再配上7K裡面的任意一個數，即可有最大值共28個
填充11
已知\(x^3-3x+1=(x-2cos\alpha)(x-2cos\beta)(x-2cos\gamma)\)，且\(0^{\circ}<\alpha<\beta<\gamma<180^{\circ}\)，試求\(sin(\gamma-\alpha)\)之值=[u] [/u]。
[解答]
2cosA，2cosB，2cosC代入方程式，可得cos3A=-1/2 (B，C同理)
所以3A=120度，240度，480度
A=40度，80度，160度
再依序排列得到C=160，A=40
所求為sin120度 選擇5
5.
四個正整數\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)的乘積為\(8!\)且滿足\(\cases{ab+a+b=524 \cr bc+b+c=146 \cr cd+c+d=104}\)，請問\(a-d=\)
(1)12 (2)10 (3)8 (4)6 (5)4
[解答]
ab+a+b+1=525
即(a+1)(b+1)=525
同理得(b+1)(c+1)=147
(c+1)(d+1)=105
b+1是525和147的公因數 其中gcd(525，147)=21
發現b+1=21，c+1=7，d+1=15，a+1=25
b=20=4*5
c=6=6
d=14=2*7
a=24=8*3
abcd剛好為8!
故所求a-d=10
回復 1# thepiano 的帖子
請教填充14.19.20.25.26.28回復 33# nanpolend 的帖子
填充第 14 題設\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(x\)、\(y\)、\(z\)均為實數，若\(a^2+b^2+c^2=1\)，\(x^2+y^2+z^2=4\)，則\(\Bigg|\;\matrix{a+b&b+c&a+c\cr x+y&y+z&x+z \cr 3&4&3}\Bigg|\;\)的最大值為[u] [/u]。
[解答]
參考 [url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=27713#p27713[/url]
回復 33# nanpolend 的帖子
第19題設兩複數\(\displaystyle z_1=cos\frac{\pi}{3}+isin\frac{\pi}{3}\)，\(\displaystyle z_2=cos \frac{\pi}{4}+isin\frac{\pi}{4}\)，若\(z_3=z_1 \cdot z_2\)，\(\displaystyle z_4=\frac{z_1}{z_2}\)且\(a\)為實數，則\(|\;a-z_3|\;+|\;a-z_4|\;\)之最小值為[u] [/u]。
[解答]
\(\begin{align}
& {{z}_{3}}=\cos \frac{7}{12}\pi +i\sin \frac{7}{12}\pi \\
& {{z}_{4}}=\cos \frac{1}{12}\pi +i\sin \frac{1}{12}\pi \\
\end{align}\)
它們是高斯平面單位圓上的兩點
所求即x 軸上一點，到此兩點距離和之最小值
第20題
大於\((\sqrt{3}+\sqrt{2})^6\)的最小整數為[u] [/u]。
[解答]
考慮\({{\left( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right)}^{6}}+{{\left( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right)}^{6}}\)
而\({{\left( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right)}^{6}}\)很接近0
第25題
設\(\alpha\)為方程式\(\displaystyle log_{107}x=-x+3\)的實根，\(\beta\)為方程式\(107^x=-x+3\)的實根。則\((log_{107}\alpha)+107^{\beta}\)之值為[u] [/u]。
[提示]
畫出\(y={{\log }_{107}}x\)、\(y={{107}^{x}}\)、\(y=-x+3\)之圖形
前兩者對稱於\(y=x\)
……
第26題
設\(\displaystyle a=\root 3\of{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}+\root 3 \of{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}\)，則\(a^6-9a^2-18a-4\)之值為[u] [/u]。
[提示]
\({{a}^{3}}=3+3a\)
……
第28題
試求最接近於\(\displaystyle 1000\sum_{n=3}^{10000}\frac{1}{n^2-4}\)之整數為三位數\(abc\)，則\(a+b+c=\)[u] [/u]。
[提示]
\(\displaystyle \frac{1}{{{n}^{2}}-4}=\frac{1}{4}\left( \frac{1}{n-2}-\frac{1}{n+2} \right)\)，再相消
回復 1# thepiano 的帖子
感謝各位這份練習過頁:
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