Math Pro 數學補給站 » 高中的數學 » 107中正預校_國中

thepiano 發表於 2018-6-3 16:23

107中正預校_國中

請參考附件

bugmens 發表於 2018-6-3 18:22

2.
設指數方程式\(3^{4x-1}=2^{4x}+16^{\displaystyle x-\frac{3}{4}}\)的解為\( \displaystyle x=\frac{b}{a} \)，\(\displaystyle \frac{b}{a}\)為一最簡分數且\(a>0\)，則\(a+b=\)(1)12　(2)3　(3)5　(4)7　(5)29。
[url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=46&t=3078&hilit=102%E4%B8%AD%E5%8D%80&start=40#p9807[/url]

3.
設\(z\)為一複數，\( \left| z-2i \right|+\left|z+4i \right| \le 10 \)之解集合在複數平面上的圖形面積為(1)\(12\pi\)　(2)\(14\pi\)　(3)\(16\pi\)　(4)\(18\pi\)　(5)\(20\pi\)。
[url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=46&t=3078&hilit=102%E4%B8%AD%E5%8D%80#p9637[/url]

4.
在正20邊形中，連接其所有對角線，以對角線為三邊所決定的三角形共有多少個(1)680　(2)720　(3)760　(4)800　(5)840。
[url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=46&t=3078&hilit=102中區&start=30#p9764[/url]

peter0210 發表於 2018-6-3 21:01

選擇4 有錯再請各位大師指正 謝謝

Ellipse 發表於 2018-6-3 23:00

填充24
設實數\(x\)、\(y\)、\(z\)滿足\(\cases{x=\sqrt{y^2-\frac{1}{16}}+\sqrt{z^2-\frac{1}{16}}\cr y=\sqrt{z^2-\frac{1}{25}}+\sqrt{x^2-\frac{1}{25}}\cr z=\sqrt{x^2-\frac{1}{36}}+\sqrt{y^2-\frac{1}{36}}}\)，且\(\displaystyle x+y+z=\frac{m}{\sqrt{n}}\)，\(m\)、\(n\)是正整數，且\(n\)不能被任何質數的平方整除，則\(m+n\)之值為。
[解答]
構造法解題
x邊上的高=1/4,y邊上的高=1/5,z邊上的高=1/6
(x/4)/2=(y/5)/2=(z/6)/2 =三角形面積
可假設x=8t,y=10t,z=12t(t>0)
利用海龍公式及三角形面積公式得t=1/(15√7)
所求x+y+z=30t=2/√7

peter0210 發表於 2018-6-4 15:07

12.
\(\Delta ABC\)中，\(\angle A\)、\(\angle B\)、\(\angle C\)的對邊之邊長分別為\(a\)、\(b\)、\(c\)，若\(b^2-c^2=ac\)，\(\angle A=42^{\circ}\)，則\(\angle C=\)[u]　　　[/u]度。

13.
介於1與2018之間的整數\(N\)，有[u]　　　[/u]個整數\(N\)代入\(\displaystyle \frac{N^2+7}{N+4}\)後，會使得\(\displaystyle \frac{N^2+7}{N+4}\)不是最簡分數。

23.
設滿足\(z^{28}-z^8-1=0\)及\(|\;z|\;=1\)的複數共有\(2n\)個。這些複數的極式為\(z_m=cos\theta_m+i sin\theta_m(0^{\circ}\le \theta_1<\theta_2<\ldots<\theta_{2n}<360^{\circ})\)，試求\(\theta_2+\theta_4+\ldots+\theta_{2n}=x^{\circ}\)，則\(x\)之值為[u]　　　[/u]。
[url=https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php?title=2001_AIME_II_Problems/Problem_14]2001 AIME II Problems/Problem 14[/url]

Ellipse 發表於 2018-6-4 21:27

填充16
某數列的前兩項為\(a_1=1\)，\(\displaystyle a_2=\frac{\sqrt{3}}{3}\)；對於\(n\ge 1\)，滿足\(\displaystyle a_{n+2}=\frac{a_n+a_{n+1}}{1-a_n a_{n+1}}\)，試問\(a_{2018}\)之值為[u]　　　[/u]。
[解答]
這題若是這樣出,我先跳過.....
但我有想過,以下表法算是最簡單了

yi4012 發表於 2018-6-5 11:50

我發現我好幾題都是憑經驗瞎猜猜對的，比如12跟23

laylay 發表於 2018-6-5 12:00

回復 6# Ellipse 的帖子

令A=15度 則 tan((12+n)A)=tan(nA)......24建議改為12

Ellipse 發表於 2018-6-5 21:46

[quote]原帖由 [i]laylay[/i] 於 2018-6-5 12:00 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=18772&ptid=2975][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
令A=15度 則 tan((12+n)A)=tan(nA)......24建議改為12 [/quote]
也是可以,方便就好

Ellipse 發表於 2018-6-5 22:44

填15,
在空間中，\(O(0,0,0)\)、\(A(a,0,0)\)、\(B(0,b,0)\)、\(C(0,0,c)\)，其中\(a\)、\(b\)、\(c\)為正數。若\(\Delta ABC\)的面積為4，則\(|\;\vec{OA}\times \vec{OB}|\;+2|\;\vec{OB}\times \vec{OC}|\;+2|\;\vec{OC}\times \vec{OA}|\;\)之最大值為[u]　　　[/u]。
[解答]
有人問,順便po上來~
也可用△ABC面積=(1/2)[|向量AB|^2*|向量AC|^2- (向量AB∙向量AC)^2]^0.5=4
得到(ab)^2+(bc)^+(ca)^2=64

laylay 發表於 2018-6-6 09:38

填充15. 另解

15.
在空間中，\(O(0,0,0)\)、\(A(a,0,0)\)、\(B(0,b,0)\)、\(C(0,0,c)\)，其中\(a\)、\(b\)、\(c\)為正數。若\(\Delta ABC\)的面積為4，則\(|\;\vec{OA}\times \vec{OB}|\;+2|\;\vec{OB}\times \vec{OC}|\;+2|\;\vec{OC}\times \vec{OA}|\;\)之最大值為[u]　　　[/u]。
[解答]
(ABC面積)^2 * 36=((OAB面積)^2+(OBC面積)^2+(OCA面積)^2) ( 2^2+4^2+4^2)>=所求^2
所以 Max=ABC面積*6=24

linchihlong 發表於 2018-6-15 15:44

想請問填充21，22，23

laylay 發表於 2018-6-15 18:05

回覆

21.
\(\cases{x+y=5 \cr x^2+z^2+xz=16 \cr y^2+z^2-yz=9}\)，則\(xz+yz=\)[u]　　　[/u]。

laylay 發表於 2018-6-15 18:59

回復 12# linchihlong 的帖子

填充 22.
已知\(x_1=21\)，\(x_2=37\)，\(x_3=42\)，\(x_4=23\)，且\(x_n=x_{n-1}-x_{n-2}+x_{n-3}-x_{n-4}(n\ge 5)\)，試求\(x_{31}+x_{53}+x_{1975}=\)[u]　　　[/u]。
[解答]
因為 x5=x4-x3+x2-x1
所以 x6=x5-x4+x3-x2= -x1   ,  同理 x7=-x2 , x8=-x3 ,x9=-x4 ,x10=-x5 ,x11=-x6=x1   ........
故每10個一循環
所求=x1+x3+x5=21+42+(-3)=60

laylay 發表於 2018-6-15 20:00

回覆

23.
設滿足\(z^{28}-z^8-1=0\)及\(|\;z|\;=1\)的複數共有\(2n\)個。這些複數的極式為\(z_m=cos\theta_m+i sin\theta_m(0^{\circ}\le \theta_1<\theta_2<\ldots<\theta_{2n}<360^{\circ})\)，試求\(\theta_2+\theta_4+\ldots+\theta_{2n}=x^{\circ}\)，則\(x\)之值為[u]　　　[/u]。

Ellipse 發表於 2018-6-16 00:12

\(\cases{x+y=5 \cr x^2+z^2+xz=16 \cr y^2+z^2-yz=9}\)，則\(xz+yz=\)[u]　　　[/u]。
[解答]
回覆laylay  21題
這題他應該是要考"構造法解題",但題目沒講清楚x,y,z要大於0
所以會有兩解~~構造法作法如下~

laylay 發表於 2018-6-16 06:49

填充

27.
由某兩個等差數列之對應項相乘所得數為1440、1716、1848、\(\ldots\)，則此數列的第八項為[u]　　　[/u]。

laylay 發表於 2018-6-16 08:20

選擇 8.

填下排                  429 …所求
    ^          132 429
    :           42    132  297
    :       14 42 90 165
    :   5  14  28  48  75
    :  2  5       9  14    20   27
   1        2         3         4          5            6           7
   1  1 1 1  1      1       1 ........> 填上排
在此想請問若再增加第三列(7格),要怎麼算呢 ?

Ellipse 發表於 2018-6-17 00:09

[quote]原帖由 [i]laylay[/i] 於 2018-6-16 08:20 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=18841&ptid=2975][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
填下排                  429 …所求
    ^          132 429
    :           42    132  297
    :       14 42 90 165
    :   5  14  28  48  75
    :  2  5       9  14    20   27
   1      ... [/quote]
8.
將數字1~14填入一個\(2\times 7\)的表格中，其中左邊的數字要比右邊的數字小，上面的數字要比下面的數字小，滿足這種規律的填法有幾種？
(1)426　(2)427　(3)429　(4)431　(5)433
[解答]
這題可以用一路領先(含等於)公式:C(2n,n)/(n+1)  [卡塔蘭數]
此時n=7,所求=C(14,7)/8=429

您的問題是三人的一路領先問題(含等號),請參考
[url]http://www.shs.edu.tw/works/essay/2018/03/2018030210001363.pdf[/url]

[url]http://163.27.6.18/tp/teacher/..%5Cteacher%5C9903%5C%E6%95%99%E5%AD%B8%E8%B3%87%E6%BA%90%5C%E9%97%9C%E6%96%BC%E4%B8%80%E8%B7%AF%E9%A0%98%E5%85%88%E5%95%8F%E9%A1%8C.pdf[/url]

cut6997 發表於 2018-6-17 04:50

回復 15# laylay 的帖子

小弟資直駑鈍
看不太懂laylay老師圖的意思
我的想法是z^28=1+z^8
分別以(0,0)和(1,0)做單位圓求交點
觀察(1,0)的圓得 交於 120度和-120度
得第一組解15度和-15度
檢察28*15(mod 360)=60.合
由於28和8的最大公因數為4
360/4=90
將上述解依次增加90得4組解
(15,345),(105,75),(195,165),(285,255)
排序後
15,75,105,165,195,255,285,345

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