107全國高中聯招
如題 去年全國聯招填充題算到生不如死今年填充題滿滿的秒殺題 3.
投擲一公正骰子三次，所得的點數依序為\(a\)、\(b\)、\(c\)。在\(b\)為偶數的條件下，行列式\( \displaystyle \left|\ \matrix{a&b \cr b&c} \right|>0 \)的機率最接近下列哪個選項？
(A)0.33 (B)0.34 (C)0.35 (D)0.36
(105學測，將原本\(b\)為奇數改成偶數)
填充題
2.
有一數列\( \langle\; a_n \rangle\; \)，若\(a_1=0\)，且\(a_{n+1}-1=a_n+2 \sqrt{1+a_n}\)，\(n=1,2,3,\ldots\)，求\(a_{30}=\)[u] [/u]。
3.
設\(f(x)\)為2018次的多項式，且\( \displaystyle f(t)=\frac{1}{2t} \)，\(t=1,2,3,\ldots,2019\)，求\(f(2020)=\)[u] [/u]。
5.
已知\( A=\left[ \matrix{1&0 \cr -1&2} \right] \)，\( B=\left[ \matrix{0&0 \cr -1&1} \right] \)，\( I=\left[ \matrix{1&0 \cr 0&1} \right] \)，設\(A^8=aI+bB\)，則\((a,b)\)之值為[u] [/u]。
[提示]
\(A^8=(B+I)^8=C_0^8B^0+C_1^8B^1+\ldots+C_7^8B^7+C_8^8B^8\)
我的教甄準備之路，矩陣\(n\)次方，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid14875[/url]
回復 1# Sandy 的帖子
填充1.若\((sin^2 63^{\circ}-3sin^2 27^{\circ})\times(sin^2 9^{\circ}-3cos^2 171^{\circ})=tan \theta\)，且\(180^{\circ}<\theta<360^{\circ}\)，求\(\theta=\)[u] [/u]。
今年比去年簡單些，預測57分進複試 [quote]原帖由 [i]eyeready[/i] 於 2018-5-12 23:29 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=18570&ptid=2964]
今年比去年簡單些，預測57分進複試 [/quote]
這題也是考古題了(99鳳新高中) 不好意思 我想請益複選9 我是利用參數式假設t +交叉相乘 可以算出1/2這個答案 想請問另一個答案怎麼求呢
填充8 兩邊平方後 最後整理出n=(18-m)^2 m=1~17 這樣所有的n 不是應該1^2+2^2+...+17^2嗎??
求填充9 目前沒想法
回復 5# Ellipse 的帖子
感謝橢圓老師的分享 簡單又好懂回復 7# exin0955 的帖子
7.試求\(\displaystyle \sum_{n=1}^{100}[\frac{1}{2}(log_2 n)-1]\)之值，其中\(\left[ \right]\)為高斯函數
8.
已知\(m\)、\(n\)為正整數，則滿足\(\sqrt{m+\sqrt{m^2-n}}+\sqrt{m-\sqrt{m^2-n}}=6\)的所有\(n\)的總和為多少？
9.
設數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)滿足\(a_n=a_{n-1}-a_{n-2}\)，其中\(n \ge 3\)。已知\(\displaystyle \sum_{n=1}^{40}a_n=30\)，\(\displaystyle \sum_{n=1}^{80}a_n=78\)，則\(\displaystyle \sum_{n=1}^{123}a_n=\)[u] [/u]。
給您參考
回復 6# exin0955 的帖子
填8如你所整理的 (m-18)^2=n
另外，由算幾不等式得到 3>=根號n
於是n可以是1^2,2^2,3^2,...,9^2
回復 8# superlori 的帖子
感謝仕忠老師 大方提供詳解回復 6# exin0955 的帖子
複選題9.若\(\displaystyle \frac{b+c}{2a}=\frac{a-c}{2b}=\frac{a-b}{2c}\)，求\(\displaystyle \frac{a}{a+b+c}\)的值？(A)1 (B)\(-1\) (C)\(\displaystyle \frac{1}{2}\) (D)\(\displaystyle -\frac{1}{2}\)
[解答]
給老師您參考(多選九)
\(\displaystyle \frac{b+c}{2a}=\frac{a-c}{2b}=\frac{a-b}{2c}=\frac{2a}{2a+2b+2c}=\frac{a}{a+b+c}=t\)
\(\cases{b+c=2at\cr a-c=2bt \cr a-b=2ct}\)
\(\cases{(-2t)a+b+c=0\cr a+(-2t)b-c=0 \cr a-b-(2t)c=0}\)
除了\((0,0,0)\)以外還有其他解(分母\(a,b,c\ne 0\))
\(\Delta =\Bigg|\; \matrix{-2t&1&1 \cr 1&-2t&-1 \cr 1 &-1&-2t}\Bigg|\;=0\)
\((t+1)(8t^2-8t+2)=0\)
\(\displaystyle t=-1\)或\(\displaystyle \frac{1}{2}\)
詳解
有誤再請各位大師鞭策[attach]4465[/attach][[i] 本帖最後由 tuhunger 於 2018-5-17 00:15 編輯 [/i]]
回復 12# tuhunger 的帖子
謝謝阿基鴻德老師 請教填充2，謝謝回復 14# arend 的帖子
填充2.有一數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)，若\(a_1=0\)，且\(a_{n+1}-1=a_n+2\sqrt{1+a_n}\)，\(n=1,2,3,\ldots\)，求\(a_{30}=\)[u] [/u]。
[解答]
\(\begin{align}
& {{a}_{n+1}}-1=a{}_{n}+2\sqrt{1+{{a}_{n}}} \\
& {{a}_{n+1}}+1=a{}_{n}+1+2\sqrt{1+{{a}_{n}}}+1={{\left( \sqrt{a{}_{n}+1}+1 \right)}^{2}} \\
& {{\left( \sqrt{a{}_{n+1}+1} \right)}^{2}}={{\left( \sqrt{a{}_{n}+1}+1 \right)}^{2}} \\
& \sqrt{a{}_{n+1}+1}=\sqrt{a{}_{n}+1}+1 \\
& \cdots \cdots \\
\end{align}\)
回復 15# thepiano 的帖子
謝謝piano老師，這技巧趕快記下來 [size=3]複選題 9 另解: 重複利用"加比"[/size][size=3][/size]
[size=3]令 (b+c) /2a = (a-c) /2b = (a-b) /2c = k，則所求 a /(a+b+c) = k[/size]
[size=3][/size]
[size=3]1. 若 a+b 與 a+c 不全為 0，則利用第1，2 或 1，3 項"加比"，得 k = 1/2[/size]
[size=3]2. 否則，b = -a 且 c= -a，代入得 k = -1[/size]
[size=3][/size]
回復 11# floot363 的帖子
複選題9.若\(\displaystyle \frac{b+c}{2a}=\frac{a-c}{2b}=\frac{a-b}{2c}\)，求\(\displaystyle \frac{a}{a+b+c}\)的值？(A)1 (B)\(-1\) (C)\(\displaystyle \frac{1}{2}\) (D)\(\displaystyle -\frac{1}{2}\)
[解答]
供大家參考，請大家指教。
\(\displaystyle \frac{b+c}{2a}=\frac{a-c}{2b}=\frac{a-b}{2c}=k\)
\(\displaystyle a=\frac{b+c}{2k},b=\frac{a-c}{2k},c=\frac{a-b}{2k}\)
\(\displaystyle \frac{a}{a+b+c}=k\)
\(\cases{\displaystyle a+b+c=\frac{a}{k}\cr b+c=2ak}\)
\(\displaystyle a+2ak=\frac{a}{k}\)
\(2k^2+k-1=\)
\((2k-1)(k+1)=0\)
\(\displaystyle k=\frac{1}{2}\)或\(k=-1\)
107全國高中教甄聯招(詳解整理)
107全國高中教甄聯招(詳解整理)回復 19# tenlong1000 的帖子
最後一題，答案有誤！(極限的計算有誤)證明請見 Rudin 的高微 P.63~P.64
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