回復 19# ssdddd2003 的帖子
第 14 題\(\begin{align}
& \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{\sqrt{\left( 3n+k \right)\left( n-k \right)}}{{{n}^{2}}}} \\
& =\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}{\sqrt{3-\frac{2k}{n}-{{\left( \frac{k}{n} \right)}^{2}}}} \\
& =\int_{0}^{1}{\sqrt{3-2x-{{x}^{2}}}} \\
\end{align}\)
\(y=\sqrt{3-2x-{{x}^{2}}}\)是圓\({{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}={{2}^{2}}\)的上半部
\({{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}={{2}^{2}}\)的圓心 A(-1，0)，半徑 2
與 x 軸交於 B(1，0)，與 y 軸交於 C(0，√3)
所求 = 扇形 ABC - 直角△AOC = \(\displaystyle \frac{2}{3}\pi -\frac{\sqrt{3}}{2}\)
回復 21# thepiano 的帖子
謝謝鋼琴老師，考試時一直想用積分，但是配不出來 > <回復 15# 小姑姑 的帖子
計算二： 我的算法也差不多，寫一些要補充的點策略：此函數在大部分的區域都是連續的，因此只需處理可能不連續的點就好。
1. 將x的範圍分為： x<-1, -1<x<1, 1<x 三段討論，發現在個別區域都是連續函數
2. 因x=1, -1為可能不連續點，利用左右極限和函數值相等可得a=0, b=1
回復 19# ssdddd2003 的帖子
第 12 題請參考附件 [size=3]填充題 12[/size]
[size=3][color=blue]另解 1[/color] 利用 E[size=2]n[/size] 與 E[size=2]n₋₁ [/size][/size][size=3]的遞迴關係 [/size]
[size=3]由起始處找遞迴: E[size=2]n[/size] = 1 + (1/6)*1 + (5/6)* E[size=2]n₋₁ [/size][/size][size=3]= 7/6 + (5/6)* E[size=2]n₋₁ [/size]，且 E₂ = 2[/size]
[size=3][/size]
[size=3]或者[/size]
[size=3][/size]
[size=3][size=3]由終止處找遞迴: E[size=2]n[/size] = n*(5/6)ⁿ⁻² + E[size=2]n₋₁[/size][/size][size=3] - (n-1)*(5/6)ⁿ⁻² = E[size=2]n₋₁[/size][size=3] + (5/6)ⁿ⁻² ，[/size]且 E₂ = 2[/size]
[color=#0000ff][/color]
[color=#0000ff]另解 2[/color] 利用幾何分配的結論
若題目條件為 "連續兩次擲出相同的點數即停止" (條件 A)，則所求 = 1 + 1/(1/6) = 7
[size=3]現又多出 "投擲滿 n 次即停止" (條件 B)，故作以下調整:[/size]
投擲 n 次均未有連續兩次同點的機率 = (5/6)ⁿ⁻¹
若只有 條件 A，則以下仍有 1/(1/6) = 6 次的投擲期望值; 但多了條件 B 後，使它 = 0。
故所求 = 7 - 6*(5/6)ⁿ⁻¹
[/size]
回復 19# ssdddd2003 的帖子
填141°先用黎曼和轉為定積分
2°積分過程中根號內會配方法形成圓的方程式
這樣你就會做了…
回復 23# swallow7103 的帖子
感謝，一樣，我分5個範圍去討論函數，再用連續的條件解a、b
謝謝。
回復 25# cefepime 的帖子
請教老師，\(E_2=2\)該怎麼算呢^_^填充15
請教各位老師，是否除了暴力解外有什麼技巧?謝謝！ 把原函數想成無窮等比，利用泰勒展開式然後比較係數就知道答案是7!複查沒有變動的話最低錄取分數是62，小弟正是那最雖的第9名...差2分啊...
反正教檢也沒過，今年就當作旅遊+寫考卷~ [b]回復 28# Christina 的帖子[/b]
[size=3]E₂ 表示: "投擲一骰子，若連續兩次擲出相同的點數或投擲滿 2 次即停止" 的投擲次數期望值。則必然是投擲 2 次。[/size]
[size=3][/size]
[b]回復 29# yuhui1026 的帖子[/b]
[size=3]樓上 BambooLotus 老師的意思大概是利用: [/size]
[size=3][/size]
[size=3]x / (1-x²) = x + x³ + x⁵ + x⁷ + x⁹+... ⇒ 所求 = 7![/size]
[size=3][/size]
[size=3]亦可利用 2*f(x) = 1/(1-x) - 1/(1+x) = (1-x)⁻¹ - (1+x)⁻¹，微分時就容易看出規律了。 [/size]
回復 29# yuhui1026 的帖子
填充151°用無窮等比數展開
2°再用泰勤展開式，在x=0處展開
3°對應比較係數
出來了，很快…千萬不要硬暴。 想問填充化簡
像直線寫點斜式算錯嗎?
3(x+1)要展開嗎?
回復 31# cefepime 的帖子
謝謝老師，再請教從終止處找遞迴是怎麼想呢？^_^ [b]回復 34# Christina 的帖子[/b][size=3]第 12 題 [/size]
[size=3][/size]
[size=3]由終止處找遞迴:[/size]
[size=3][/size]
[size=3]E[size=2]n[/size] = 恰第 n 次結束的期望值 +[color=blue] [ 第 (n-1) 次之前(含)結束的期望值 ][/color][/size]
[size=3][/size]
[size=3]= n*P(投擲 n-1 次均無連續兩次同點) + [color=blue][ En₋₁ - 投擲 n-1 次時因為已擲了 n-1 次而停止的期望值 ][/color][/size]
[size=3][/size]
[size=3]= n*(5/6)ⁿ⁻² + [color=#0000ff]En₋₁ - (n-1[color=blue])*(5/6)ⁿ⁻²[/color][color=#000000] [/color][/color][/size]
[size=3][/size]
[size=3]= [color=black]En₋₁ + (5/6)ⁿ⁻²[/color][/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
[size=3]----------------------------[/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
[size=3]以上是當時發文時的原始想法。但鑒於最後的遞迴式型態簡單，故考慮找出更簡明的想法，如下:[/size]
[size=3][/size]
[size=3][color=#000000]En₋₁ 表示: "投擲一骰子，若連續兩次擲出相同的點數或投擲滿 n-1 次即停止" 的投擲次數期望值。[/color][/size]
[size=3][color=#000000][/color][/size]
[size=3][color=#000000]En 表示: "投擲一骰子，若連續兩次擲出相同的點數或投擲滿 n 次即停止" 的投擲次數期望值。[/color][/size]
[size=3][color=#000000][/color][/size]
[size=3][color=#000000][/color][/size]
[size=3][color=#000000]兩者差在哪?[/color][/size]
[size=3][color=#000000][/color][/size]
[size=3][color=#000000]在擲 n-1 次時，若該停止了，則基本上在擲 n 次時，也該停止了。只有一個例外:[/color][/size]
[size=3][color=#000000][/color][/size]
[size=3][color=#000000]" 投擲 n-1 次均無連續兩次同點時，前者必須終止，後者須再多擲 1 次(無論結果也須終止) "。這個機率是 (5/6)ⁿ⁻²。[/color][/size]
[size=3][color=#000000][/color][/size]
[size=3][color=#000000]
故兩者差 1*(5/6)ⁿ⁻²，即 [color=red]En = En₋₁ + (5/6)ⁿ⁻²[/color]
[/color][/size]
回復 35# cefepime 的帖子
太感謝老師詳細的說明!!^^ 想請教計算一如何討論，謝謝回復 37# JOE 的帖子
計算一就是扇形著色問題
[url]https://math.pro/db/thread-499-1-4.html[/url]
回復 38# thepiano 的帖子
謝謝老師指點請問這個題目(僅七格)在計算題的處理方法
是否建議直接反覆使用遞迴關係迭代。