107建國中學
小弟只有記得一點點題目，希望拋磚引玉，各位板友補充1.四面體ABCD中，AD與底面ABC垂直，BD長為根號3，角BDC為60度。若三側面的面積平方和為10，求角ADB的sin值。
2.A={1,2,3,4,5,6},B={1,2,3,4}，f的定義域為A，試問滿足f(f)的值域為B的f共有幾種？
3.四面體ABCD中，AB=5(?)，BC=8(?)，AC=9,AD=10,CD=11,BD=12,求平面ABC和ACD的兩面角之cos 值。
4.正整數x滿足x/61=0.b_1b_2......，已知b_35=2,b_67=3求數對(x,b_7). (數字沒有很確定)
5.x^2+y^2=4的圓內接四邊形，兩對角線垂直且交於(1,0)，求此圓內接四邊形的最大面積。
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謝謝Carl大提供的電子檔補充!!
回復 1# 米斯蘭達 的帖子
請教第二題答案是1640嗎回復 1# 米斯蘭達 的帖子
第 2 題f(x) 的值域是 B 嗎？
回復 1# 米斯蘭達 的帖子
4.應該是b_37跟b_65，但是忘記哪一個是2哪個是3，最後是求(x,b_36)記得的
1. \( A=\{z|z^{12}=1\},B=\{z|z^{16}=1\},C=\{z_1 z_2|z_1\in A,z_2\in B\}\),C有多少個元素
2. \( \displaystyle\sum^n_{k=1} \frac{k^2}{2^k}=\)
回復 4# zidanesquall 的帖子
b37=2,b65=3回復 3# thepiano 的帖子
值域是B，回來後的算答案是864>< 第二題我的想法是384，想法是5、6從值域裡面消失，因此f(5)、f(6)勢必是1、2、3或4，故各有四種選擇；而f(1)、f(2)、f(3)和f(4)勢必要對應到1、2、3、4 (onto) 否則值域會越來越小，故f(1)、f(2)、f(3)和f(4)的可能選擇為4!。因此所有函數可能為4*4*4!=384
希望有人想法跟我一樣的可以幫我把它說的更完整，感謝!
回復 6# Christina 的帖子
384 才對！回復 7# jfy281117 的帖子
那有沒有可能f(6)=4,f(5)=6,所以第一次的情形是把A對映到{1,2,3,4,6}然後第二次才把{1,2,3,4,6}對映到{1，2，3，4}呢再說明清楚我的問題，打擾老師們不好意思><
如果f(1)=1,f(2)=2,f(3)=4,f(4)=4,f(5)=4,f(6)=5，那f(f(x))的值域也會是B,這樣的情形需要考慮嗎^_^ 填充7.8數據沒把握，所以參考米大及綜合自身印象的數據。
計算2.3數據不大有把握，再請記得的版友補充了。
回復 9# Christina 的帖子
若 f(x) 的值域是 B 的話，由於 B 裡沒有 6，所以 f(5) 不會是 6若照 Carl 老師分享的題目 f(x) 的對應域是 A 的話，您的答案 864 就是正確的
回復 11# thepiano 的帖子
謝謝鋼琴老師，因為題目只說了f(f(x))的值域為B,所以其實我也不太確定自己這樣想是否對的，提出來請大家幫忙解惑這樣^_^回復 11# thepiano 的帖子
印象很深，題目是Carl 老師分享的這樣 久沒做題目，能對一下答案嗎??1. \( 48 \)
2. \( \displaystyle 6-\frac{n^2+4n+6}{2^n} \)
3. \( \displaystyle \frac{2509}{109} \)
4. \( 864 \)
5. \( 11 \)
6. \( 7 \)
7. \( \displaystyle -\frac{311}{160\sqrt{22}} \)
8. \( \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \)
9. \( 27 \)
10. \( (56,7) \) 或 \( (40,2) \) 請教老師7,8,10怎麼算
回復 15# litlesweetx 的帖子
第七題硬算做DE垂直AC於E
過E做AC的垂線交BC於F
分別算出DE、EF、DF
然後用餘弦定理 第八題，這圖好難想像
假設 \( AD=x,CD=y \)
做 \( AE \perp BD \) 於 \( E \)
那麼 \( \displaystyle AE=\sqrt{x^2-\frac{x^4}{3}} , DE=\frac{x^2}{\sqrt{3}} \)
做 \( CF \perp BD \) 於 \( F \)
那麼 \( \displaystyle CF=\frac{\sqrt{3}}{2}y , DF=\frac{1}{2}y \)
\( \displaystyle AC^2=AE^2+EF^2+CF^2=CD^2-AD^2 \)
\( \displaystyle y=2\sqrt{3} \)
\( \displaystyle (DAB)^2+(DAC)^2+(DBC)^2=10 \)
\( \displaystyle x^2(3-x^2)+x^2(12-x^2)+27=40 \)
\( \displaystyle 2x^4-15x^2+13=0 \)
\( \displaystyle x^2=1 \) 另一個大於3所以不合
回復 14# lyingheart 的帖子
剛花了一小時做第 7 題答案跟您一樣，真醜，會不會數據記錯了？
回復 18# thepiano 的帖子
這個結果我檢查了好幾次，還叫一個學生算一次，才確認的。我是覺得也許是隨意出出，反正總是會算出答案，了不起叫他們數資班幾個同學確認一下就好。 第十題
已知\(x\)是自然數，若將分數\(\displaystyle \frac{x}{61}\)化為小數，得\(\displaystyle \frac{x}{61}=0.d_1d_2d_3\ldots\)，其中\(d_{37}=2\)，\(d_{65}=3\)，則數對\((x,d_{36})=\)[u] [/u]。
[解答]
每一位的數字是多少，取決於前一位的餘數，所以
\( \displaystyle a_{37}=2 \) 表示前一位除以 \( 61 \) 的餘數為 \( 13,14,15,16,17,18 \)
以下都做除以 \( 61 \)的餘數
\( \displaystyle 10^{36}x=13,14,15,16,17,18 \)
同理 \( \displaystyle 10^{64}x=19,20,21,22,23,24 \)
\( \displaystyle 10^{28}=(10^4)^7=(-4)^7=-64^2 \times 4=-36=25 \)
\( \displaystyle 25 \times (13,14,15,16,17,18)=(20,45,9,34,59,23) \)
所以可能的解有 \( (13,20) \) 以及 \( (18,23) \)
\( \displaystyle 10^{36}=(10^4)^9=(-4)^9=-(4^3)^3=-3^3=-27=34 \)
若 \( \displaystyle 10^{36}x=(13,18) \Rightarrow x=(56,40) and 10^{35}x=(44,14) \)
故 \( \displaystyle a_{36}=(7,2) \)