回復 39# z78569 的帖子
計算一 (2)1994 AIME Problem 13
[url]https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php?title=1994_AIME_Problems/Problem_13[/url]
這題考過很多次了
回復 40# laylay 的帖子
回復 41# thepiano 的帖子感謝兩位老師的分享 ，受益良多!
回覆
#43等號成立於x=y=z時
回復 42# laylay 的帖子
設\(a^5+b^5=64\)為定值則\(a,b\)都為2的時候平方和應該是
比
\(a,b,\)有一個是(-3/2)的平方和還要大
回復 44# 王重鈞 的帖子
計算3.不好意思,我再修正,不過六數中 若有兩數2,則另四數無解 [quote]原帖由 [i]laylay[/i] 於 2018-5-21 18:50 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=18623&ptid=2946][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
#43
等號成立於 x=y=z 時 [/quote]
我用Mathematica檢驗"不等式"是否成立
它的結果沒有出現 : "true"
我都先用Mathematica檢驗不等式是否成立
"true"才證明,以免浪費不必要的時間
回復 46# Ellipse 的帖子
我用excel 試了上千組亂正數數對(x,y,z) 都找不到一個反例,應該是成立的吧 ! [quote]原帖由 [i]laylay[/i] 於 2018-5-26 23:45 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=18655&ptid=2946][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]我用excel 試了上千組亂正數數對(x,y,z) 都找不到一個反例,應該是成立的吧 ! [/quote]
或許Mathematica還無法判斷這題是否是對的
事實上不等式也有可能是對的
#45的修正
計算3.回復 49# laylay 的帖子
小弟的做法比較笨拙所求最大值可以寫成函數
9x/4 + [(2 + (243x)/32)^2 * (6 - x)^3]^(1/5)
x=0,1,2,3,4,5,6
代入判斷最大值 想請教各位老師 官方版的第七題
回復 51# c90378 的帖子
第7題設圓\(O\)：\(x^2+y^2=4\)，四邊形\(ABCD\)為圓\(O\)的內接四邊形，已知\(\overline{AC}\)與\(\overline{BD}\)互相垂直交於\((1,0)\)，則四邊形\(ABCD\)面積的最大值為[u] [/u]。
[解答]
\(\begin{align}
& P\left( 1,0 \right)\ ,\ \overline{OA}=\overline{OB}=2\ ,\ \overline{OM}=a\ ,\ \overline{ON}=b \\
& \overline{AC}=2\sqrt{4-{{a}^{2}}}\ ,\ \overline{BD}=2\sqrt{4-{{b}^{2}}} \\
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=1 \\
& ABCD=\frac{1}{2}\times \overline{AC}\times \overline{BD}=2\times \sqrt{4-{{a}^{2}}}\times \sqrt{4-{{b}^{2}}}\le 4-{{a}^{2}}+4-{{b}^{2}}=7 \\
\end{align}\) 想請問填充2
回復 53# satsuki931000 的帖子
第2題級數\(\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac{k^2}{2^k}\)之值為[u] [/u]。
[解答]
\(\begin{align}
& \sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{k}{{{2}^{k}}}}=2-\frac{n+2}{{{2}^{n}}} \\
& \\
& S=\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{{{k}^{2}}}{{{2}^{k}}}=\frac{1}{2}+}\frac{{{2}^{2}}}{{{2}^{2}}}+\frac{{{3}^{2}}}{{{2}^{3}}}+\cdots +\frac{{{n}^{2}}}{{{2}^{n}}} \\
& \frac{S}{2}=\frac{1}{{{2}^{2}}}+\frac{{{2}^{2}}}{{{2}^{3}}}+\cdots +\frac{{{\left( n-1 \right)}^{2}}}{{{2}^{n}}}+\frac{{{n}^{2}}}{{{2}^{n+1}}} \\
& S-\frac{S}{2}=\frac{S}{2}=\frac{1}{2}+\frac{3}{{{2}^{2}}}+\frac{5}{{{2}^{3}}}+\cdots +\frac{2n-1}{{{2}^{n}}}-\frac{{{n}^{2}}}{{{2}^{n+1}}}=\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{2k-1}{{{2}^{k}}}-\frac{{{n}^{2}}}{{{2}^{n+1}}}} \\
& S=2\left( \sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{2k-1}{{{2}^{k}}}-\frac{{{n}^{2}}}{{{2}^{n+1}}}} \right)=2\left( 2\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{k}{{{2}^{k}}}-\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{{{2}^{k}}}}-\frac{{{n}^{2}}}{{{2}^{n+1}}}} \right) \\
& =2\left[ \left( 4-\frac{2n+4}{{{2}^{n}}} \right)-\left( 1-\frac{1}{{{2}^{n}}} \right)-\frac{{{n}^{2}}}{{{2}^{n+1}}} \right] \\
& =2\left( 3-\frac{{{n}^{2}}+4n+6}{{{2}^{n+1}}} \right) \\
& =6-\frac{{{n}^{2}}+4n+6}{{{2}^{n}}} \\
\end{align}\) 謝謝老師
回覆53#
填充2另解想請教計算2.3
看了好久還是不懂計算2.3從何著手 參考來源ppt:FAlin 應該是數學國手\(\displaystyle (x+x+y)(1+\frac{y}{x}+1)\ge (\sqrt{x}+2\sqrt{y})^2\)
\(\displaystyle \Rightarrow \frac{2x+y}{(\sqrt{x}+2\sqrt{y})^2}\ge \frac{x}{2x+y} \)
\(\displaystyle \sum_{cyc}\frac{x(2x+y)}{z(\sqrt{x}+2\sqrt{y})^2}\ge \sum_{cyc} \frac{x^2}{yz+2xz}\ge \frac{(x+y+z)^2}{3xy+3yz+3zx}\ge 1 \)
倒數第二個柯西/權方和 最後一個
107.10.20版主補充出處
[url]https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1539880910.A.B47.html[/url]