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所謂「信心」,
是無論景氣再壞,都要相信自己有能力。

jim1130lc 發表於 2018-4-21 21:20

107中科實中國中部

參考附件

laylay 發表於 2018-4-22 07:07

填充

4.
\(\alpha,\beta,\gamma,\delta\)為方程式\(x^4+x^3+1=0\)的四個根,試求\(\left|\ \matrix{\alpha&1&1&1\cr 1&\beta&1&1\cr 1&1&\gamma&1\cr 1&1&1&\delta} \right|=\)[u]   [/u]。
[解答]
所求=abcd-(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+2(a+b+c+d)-3   (直接 觀察 abcd 的係數 = 1 ,abc 的係數 = 0 ,ab 的係數 = 1 0 = -1
           =   1   -     0     +2 (     -1     ) -3 = -4                      a 的係數 = 0 1 1= 2         常數項=0111 =3111=3 1 1 1=3(-1)=-3
                                                                                                          1 0 1                           1011   3011   0-1 0 0
                                                                                                          1 1 0                           1101   3101   0 0-1 0           
                                                                                                                                             1110   3110   0 0 0-1
                                                                                         推廣 :  係數 = 1, 0 ,-1, 2 ,-3, 4 ,-5, 6 .........

5.
化簡\(\root 3\of{40+11\sqrt{13}}+\root 3\of{40-\sqrt{13}}=\)[u]   [/u]。
[解答]
    令所求  x =a+b ,  由 a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)  得 80=x^3-9x => (x-5)(x^2+5x+16)=0
      故所求 實數 x = 5

11.
\(a,b,c\in R\),\(a+b+c=0\),\(abc=100\),若\(a\)、\(b\)、\(c\)三數中最大的數為\(a\),試求\(a\)的最小值為[u]   [/u]。
[解答]
a 為最大值 => a>0  ,  b+c=-a , bc=100/a => (b-c)^2= (b+c)^2-4bc=(a^3-400)/a>=0 => a>=20^(2/3) 為所求
       此時 b=c<0<a 符合 a 為最大值的條件

12.
正方形\(ABCD\)中一點\(P\),已知\(\overline{PA}=7\)、\(\overline{PB}=3\)、\(\overline{PC}=5\),求此正方形之面積為[u]   [/u]。
[解答]
    令 AB^2=BC^2=x 則 cos(PBC)^2+cos(PBA)^2=1 =>
        ( x+3^2-5^2)^2+(x+3^2-7^2) ^2=2^2*3^2*x  =>  (x-58)(x-16)=0 , 所求=x=58 (16不合)
另法 : 以B為軸心將ABP旋轉90度至CBQ 則PQ=3ㄏ2,角BPQ=45度 COS(QPC)=(18+25-49)/(2*3ㄏ2*5)=-1/(5ㄏ2)
           SIN(QPC)=7/(5ㄏ2) ,
           所求=BC^2=9+25-2*3*5*COS(BPC)=34-30(CC-SS)=34-30 [ (1/ㄏ2)*(-1/(5ㄏ2))-(1/ㄏ2)*(7/(5ㄏ2)) ] = 58


16.
\([x]\)表示不超過\(x\)的最大整數值,例如:\([2.8]=2\)、\([-2.8]=-3\),已知\(x\)滿足\(\displaystyle [x+\frac{19}{100}]+[x+\frac{20}{100}]+\ldots+[x+\frac{91}{100}]=546\),試求:\([100x]=\)[u]   [/u]。
[解答]
  共有 73 個 [ ] , 546/73=7....35 故後面35 個 [ ] 都是 8 即 [x+0.56]=7  ,  [x+0.57]=8 =>x=7.43....=> [100x]=743

empty 發表於 2018-4-22 08:15

計算1.填充10

計算1
角APC=角EPF=135度
設AF為x
tanAEB=2+x/2
tan(FCB)=tan(AEB-45)=2/3
解得x=6
矩形面積=6*10=60

填充10
過A點作L2垂線交L1於D點,L3於E點
設AB=x=AC
xCosDAB=2
xCosEAC=6=xSinDAB

CosDAB^2+SinDAB^2=1
得x^2=40
三角形ABC面積=20

[[i] 本帖最後由 empty 於 2018-4-22 08:30 編輯 [/i]]

exin0955 發表於 2018-4-22 15:38

想請益填充2 為什麼不用考慮負的因數呢
我的想法是 先移項xy=520(x+y)再整理成(x-520)(y-520)=520*520=2^6  *  5^2  * 13^2
故正因數有(6+1)(2+1)(2+1)=63
考試當下我覺得除了x=0 y=0以外還有負的因數 所以我又乘以2了QQ

thepiano 發表於 2018-4-22 15:46

回復 4# exin0955 的帖子

題目有說 x 和 y 是正整數

exin0955 發表於 2018-4-22 15:54

回復 5# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師 我大概理解了 一個可以是正的 但另一個就會比0還小
ex x=260 y= - 520就會是 (- 260)*( - 1040) 哈哈 想太多了= =

jim1130lc 發表於 2018-4-22 16:25

回復 4# exin0955 的帖子

考試當下我也在考慮負的因數,好在舉了例子有發現不合

z78569 發表於 2018-4-22 17:37

我忘記報名了><  但是還是來分享一下做法

[[i] 本帖最後由 z78569 於 2018-4-22 17:39 編輯 [/i]]

peter0210 發表於 2018-4-22 19:22

填充9

bugmens 發表於 2018-4-22 19:42

填充題
3.
空間中有20個相異的平面,最多可以將空間分割成[u]   [/u]個區域。
[解答]
\(C_0^{20}+C_1^{20}+C_2^{20}+C_3^{20}\)
[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid4597[/url]

7.
三次曲線\(y=x^3+ax^2+1\),若通過原點可做出此曲線的三條相異切線,求實數\(a\)的範圍為[u]   [/u]。
[解答]
100楊梅高中,[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1162&page=1#pid4118[/url]

9.
\(\Delta ABC\)中,\(\overline{AB}=10\),\(M\)為\(\overline{AB}\)中點,\(\Delta ABC\)內切圓恰將線段\(\overline{CM}\)三等份,試求\(\Delta ABC\)面積=[u]   [/u]。
106新竹高中,[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2727&page=1#pid16747[/url]

10.
已知\(L_1\)、\(L_2\)、\(L_3\)為三平行直線,且\( ∠BAC=90^{\circ} \)。若\(\overline{AB}=\overline{AC}\),且\(L_1\)與\(L_2\)的距離為2、\(L_2\)與\(L_3\)的距離為6,試問:\(\Delta ABC\)的面積=[u]   [/u]。

相關題目
[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid6230[/url]

12.
正方形\(ABCD\)中一點\(P\),已知\(\overline{PA}=7\)、\(\overline{PB}=3\)、\(\overline{PC}=5\),求此正方形之面積為[u]   [/u]。
[提示]
建中通訊解題第17期

14.
已知\(p\)為質數,且\(p^3+2p^2+p\)恰有42個正因數,試求:所有符合\(p\)值之最小值為[u]   [/u]。
[解答]
[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1122&page=2#pid10125[/url]

16.
\([x]\)表示不超過\(x\)的最大整數值,例如:\([2.8]=2\)、\([-2.8]=-3\),已知\(x\)滿足
\( \displaystyle [x+\frac{19}{100}]+[x+\frac{20}{100}]+\ldots+[x+\frac{91}{100}]=546 \),試求:\([100x]=\)[u]   [/u]。
1991AIME,[url]https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php?title=1991_AIME_Problems/Problem_6[/url]

計算題
1.
如圖,點\(E\)、\(F\)分別在矩形\(ABCD\)的邊\(\overline{BC}\)、\(\overline{AB}\)上,已知\(\overline{BF}=4\),\(\overline{BE}=2\),\(\overline{CE}=4\),\(\overline{AE}\)與\(\overline{CF}\)交於點\(P\),且\(∠APC =∠AEB +∠CFB\),則矩形\(ABCD\)的面積為何?
[提示]
建中通訊解題第91期

z78569 發表於 2018-4-22 20:53

回復 10# bugmens 的帖子

感謝老師的分享! 同樣的題目一起準備起來會比較有感覺!

cut6997 發表於 2018-4-23 16:54

關於第6題
小弟資質駑鈍
採用的算法是取兩次三點共面與直線交點
得到P.Q座標後算距離
可是算起來十分費時
想請教各位先進正確做法為何

[[i] 本帖最後由 cut6997 於 2018-4-23 17:30 編輯 [/i]]

thepiano 發表於 2018-4-23 19:10

回復 12# cut6997 的帖子

第 6 題
\(\begin{align}
  & P\left( t,2t,4-t \right),Q\left( 3-6s,-1+6s,2-3s \right),R\left( -13,36,-9 \right) \\
& \frac{t+13}{3-6s+13}=\frac{2t-36}{-1+6s-36}=\frac{4-t+9}{2-3s+9} \\
& \frac{t+13}{16-6s}=\frac{2t-36}{6s-37}=\frac{13-t}{11-3s} \\
& \frac{2t-36}{6s-37}=\frac{13-t}{11-3s}=\frac{2t-36+2\left( 13-t \right)}{6s-37+2\left( 11-3s \right)}=\frac{2}{3} \\
& \frac{t+13}{16-6s}=\frac{2t-36}{6s-37}=\frac{t+13+2t-36}{16-6s+6s-37}=\frac{3t-23}{-21}=\frac{2}{3} \\
& t=3,s=-\frac{4}{3} \\
& P\left( 3,6,1 \right),Q\left( 11,-9,6 \right) \\
& \overline{PQ}=\sqrt{314} \\
\end{align}\)

jim1130lc 發表於 2018-4-23 21:28

想請問填充1
我從答案看出z1z2直線為圓的切線,因此最小值顯而易見
但若z1z2不是切線呢?
是否有任意兩點求距離和最小值的方法?

cut6997 發表於 2018-4-23 22:15

回復 13# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師
當初也有想過直接用向量成比例做
可是寫出來看到有兩個變數相乘的st項就沒繼續往下做了

laylay 發表於 2018-4-25 09:45

15.

所求相當於x^2+(y-3)^2<=9 即 x^2+y^2-6y<=0 與 x^2+y^2<=1,兩交集圖形繞y軸繞出來的體積,其中兩圓周有一交點是(x1,1/6)
故所求=積分( (6y-y^2)*PI*dy ,y=0..1/6) + 積分( (1-y^2)*PI*dy ,y=1/6..1)=7PI/12

[[i] 本帖最後由 laylay 於 2018-4-25 09:46 編輯 [/i]]

koeagle 發表於 2018-4-26 03:15

想請問各位老師計算第2題的做法,謝謝。

laylay 發表於 2018-4-26 11:27

回復 17# koeagle 的帖子

設大球球心\(O\),三小球球心\(A,B,C\),\( \Delta ABC\)的重心\(G\),射線\(OA\)上的大小兩球切點\(D\),\(\overline{OG}=10\),\( \displaystyle \overline{AG}=10 \frac{2}{\sqrt{3}} \)
則所求\(=\overline{OD}=\overline{OA}+\overline{AD}=\sqrt{\overline{OG}^2+\overline{GA}^2}+10=10(1+\sqrt{\frac{7}{3}})\)

107.6.17新增
[attach]4591[/attach]

thepiano 發表於 2018-4-26 11:32

回復 17# koeagle 的帖子

計算第 2 題
設三球與碗面 ( 即題目中的水平面 ) 的切點分別是 A、B、C
半球的球心 O,半徑 R
則 △ABC 是邊長 20 的正三角形,\(\displaystyle \overline{OA}=\frac{\sqrt{3}}{2}\times 20\times \frac{2}{3}=\frac{20}{3}\sqrt{3}\)
\(\displaystyle R=10+\sqrt{10^2+\left(10 \frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2}=10(1+\sqrt{\frac{7}{3}})\)

107.6.17新增
[attach]4589[/attach]

koeagle 發表於 2018-4-26 16:33

回復 18# laylay 的帖子

謝謝老師的解答!
也謝謝thepiano老師的解答!

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