107中科實中國中部
參考附件填充
4.\(\alpha,\beta,\gamma,\delta\)為方程式\(x^4+x^3+1=0\)的四個根，試求\(\left|\ \matrix{\alpha&1&1&1\cr 1&\beta&1&1\cr 1&1&\gamma&1\cr 1&1&1&\delta} \right|=\)[u] [/u]。
[解答]
所求=abcd-(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+2(a+b+c+d)-3 (直接 觀察 abcd 的係數 = 1 ,abc 的係數 = 0 ,ab 的係數 = 1 0 = -1
= 1 - 0 +2 ( -1 ) -3 = -4 a 的係數 = 0 1 1= 2 常數項=0111 =3111=3 1 1 1=3(-1)=-3
1 0 1 1011 3011 0-1 0 0
1 1 0 1101 3101 0 0-1 0
1110 3110 0 0 0-1
推廣 : 係數 = 1, 0 ,-1, 2 ,-3, 4 ,-5, 6 .........
5.
化簡\(\root 3\of{40+11\sqrt{13}}+\root 3\of{40-\sqrt{13}}=\)[u] [/u]。
[解答]
令所求 x =a+b , 由 a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b) 得 80=x^3-9x => (x-5)(x^2+5x+16)=0
故所求 實數 x = 5
11.
\(a,b,c\in R\)，\(a+b+c=0\)，\(abc=100\)，若\(a\)、\(b\)、\(c\)三數中最大的數為\(a\)，試求\(a\)的最小值為[u] [/u]。
[解答]
a 為最大值 => a>0 , b+c=-a , bc=100/a => (b-c)^2= (b+c)^2-4bc=(a^3-400)/a>=0 => a>=20^(2/3) 為所求
此時 b=c<0<a 符合 a 為最大值的條件
12.
正方形\(ABCD\)中一點\(P\)，已知\(\overline{PA}=7\)、\(\overline{PB}=3\)、\(\overline{PC}=5\)，求此正方形之面積為[u] [/u]。
[解答]
令 AB^2=BC^2=x 則 cos(PBC)^2+cos(PBA)^2=1 =>
( x+3^2-5^2)^2+(x+3^2-7^2) ^2=2^2*3^2*x => (x-58)(x-16)=0 , 所求=x=58 (16不合)
另法 : 以B為軸心將ABP旋轉90度至CBQ 則PQ=3ㄏ2,角BPQ=45度 COS(QPC)=(18+25-49)/(2*3ㄏ2*5)=-1/(5ㄏ2)
SIN(QPC)=7/(5ㄏ2) ,
所求=BC^2=9+25-2*3*5*COS(BPC)=34-30(CC-SS)=34-30 [ (1/ㄏ2)*(-1/(5ㄏ2))-(1/ㄏ2)*(7/(5ㄏ2)) ] = 58
16.
\([x]\)表示不超過\(x\)的最大整數值，例如：\([2.8]=2\)、\([-2.8]=-3\)，已知\(x\)滿足\(\displaystyle [x+\frac{19}{100}]+[x+\frac{20}{100}]+\ldots+[x+\frac{91}{100}]=546\)，試求：\([100x]=\)[u] [/u]。
[解答]
共有 73 個 [ ] , 546/73=7....35 故後面35 個 [ ] 都是 8 即 [x+0.56]=7 , [x+0.57]=8 =>x=7.43....=> [100x]=743
計算1.填充10
計算1角APC=角EPF=135度
設AF為x
tanAEB=2+x/2
tan(FCB)=tan(AEB-45)=2/3
解得x=6
矩形面積=6*10=60
填充10
過A點作L2垂線交L1於D點，L3於E點
設AB=x=AC
xCosDAB=2
xCosEAC=6=xSinDAB
CosDAB^2+SinDAB^2=1
得x^2=40
三角形ABC面積=20
[[i] 本帖最後由 empty 於 2018-4-22 08:30 編輯 [/i]] 想請益填充2 為什麼不用考慮負的因數呢
我的想法是 先移項xy=520(x+y)再整理成(x-520)(y-520)=520*520=2^6 * 5^2 * 13^2
故正因數有(6+1)(2+1)(2+1)=63
考試當下我覺得除了x=0 y=0以外還有負的因數 所以我又乘以2了QQ
回復 4# exin0955 的帖子
題目有說 x 和 y 是正整數回復 5# thepiano 的帖子
謝謝鋼琴老師 我大概理解了 一個可以是正的 但另一個就會比0還小ex x=260 y= - 520就會是 (- 260)*( - 1040) 哈哈 想太多了＝ ＝
回復 4# exin0955 的帖子
考試當下我也在考慮負的因數，好在舉了例子有發現不合 我忘記報名了>< 但是還是來分享一下做法[[i] 本帖最後由 z78569 於 2018-4-22 17:39 編輯 [/i]] 填充9 填充題
3.
空間中有20個相異的平面，最多可以將空間分割成[u] [/u]個區域。
[解答]
\(C_0^{20}+C_1^{20}+C_2^{20}+C_3^{20}\)
[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid4597[/url]
7.
三次曲線\(y=x^3+ax^2+1\)，若通過原點可做出此曲線的三條相異切線，求實數\(a\)的範圍為[u] [/u]。
[解答]
100楊梅高中，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1162&page=1#pid4118[/url]
9.
\(\Delta ABC\)中，\(\overline{AB}=10\)，\(M\)為\(\overline{AB}\)中點，\(\Delta ABC\)內切圓恰將線段\(\overline{CM}\)三等份，試求\(\Delta ABC\)面積=[u] [/u]。
106新竹高中，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2727&page=1#pid16747[/url]
10.
已知\(L_1\)、\(L_2\)、\(L_3\)為三平行直線，且\( ∠BAC=90^{\circ} \)。若\(\overline{AB}=\overline{AC}\)，且\(L_1\)與\(L_2\)的距離為2、\(L_2\)與\(L_3\)的距離為6，試問：\(\Delta ABC\)的面積=[u] [/u]。
相關題目
[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid6230[/url]
12.
正方形\(ABCD\)中一點\(P\)，已知\(\overline{PA}=7\)、\(\overline{PB}=3\)、\(\overline{PC}=5\)，求此正方形之面積為[u] [/u]。
[提示]
建中通訊解題第17期
14.
已知\(p\)為質數，且\(p^3+2p^2+p\)恰有42個正因數，試求：所有符合\(p\)值之最小值為[u] [/u]。
[解答]
[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1122&page=2#pid10125[/url]
16.
\([x]\)表示不超過\(x\)的最大整數值，例如：\([2.8]=2\)、\([-2.8]=-3\)，已知\(x\)滿足
\( \displaystyle [x+\frac{19}{100}]+[x+\frac{20}{100}]+\ldots+[x+\frac{91}{100}]=546 \)，試求：\([100x]=\)[u] [/u]。
1991AIME，[url]https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php?title=1991_AIME_Problems/Problem_6[/url]
計算題
1.
如圖，點\(E\)、\(F\)分別在矩形\(ABCD\)的邊\(\overline{BC}\)、\(\overline{AB}\)上，已知\(\overline{BF}=4\)，\(\overline{BE}=2\)，\(\overline{CE}=4\)，\(\overline{AE}\)與\(\overline{CF}\)交於點\(P\)，且\(∠APC =∠AEB +∠CFB\)，則矩形\(ABCD\)的面積為何？
[提示]
建中通訊解題第91期
回復 10# bugmens 的帖子
感謝老師的分享! 同樣的題目一起準備起來會比較有感覺! 關於第6題小弟資質駑鈍
採用的算法是取兩次三點共面與直線交點
得到P.Q座標後算距離
可是算起來十分費時
想請教各位先進正確做法為何
[[i] 本帖最後由 cut6997 於 2018-4-23 17:30 編輯 [/i]]
回復 12# cut6997 的帖子
第 6 題\(\begin{align}
& P\left( t,2t,4-t \right),Q\left( 3-6s,-1+6s,2-3s \right),R\left( -13,36,-9 \right) \\
& \frac{t+13}{3-6s+13}=\frac{2t-36}{-1+6s-36}=\frac{4-t+9}{2-3s+9} \\
& \frac{t+13}{16-6s}=\frac{2t-36}{6s-37}=\frac{13-t}{11-3s} \\
& \frac{2t-36}{6s-37}=\frac{13-t}{11-3s}=\frac{2t-36+2\left( 13-t \right)}{6s-37+2\left( 11-3s \right)}=\frac{2}{3} \\
& \frac{t+13}{16-6s}=\frac{2t-36}{6s-37}=\frac{t+13+2t-36}{16-6s+6s-37}=\frac{3t-23}{-21}=\frac{2}{3} \\
& t=3,s=-\frac{4}{3} \\
& P\left( 3,6,1 \right),Q\left( 11,-9,6 \right) \\
& \overline{PQ}=\sqrt{314} \\
\end{align}\) 想請問填充1
我從答案看出z1z2直線為圓的切線，因此最小值顯而易見
但若z1z2不是切線呢？
是否有任意兩點求距離和最小值的方法？
回復 13# thepiano 的帖子
謝謝鋼琴老師當初也有想過直接用向量成比例做
可是寫出來看到有兩個變數相乘的st項就沒繼續往下做了
15.
所求相當於x^2+(y-3)^2<=9 即 x^2+y^2-6y<=0 與 x^2+y^2<=1,兩交集圖形繞y軸繞出來的體積,其中兩圓周有一交點是(x1,1/6)故所求=積分( (6y-y^2)*PI*dy ,y=0..1/6) + 積分( (1-y^2)*PI*dy ,y=1/6..1)=7PI/12
[[i] 本帖最後由 laylay 於 2018-4-25 09:46 編輯 [/i]] 想請問各位老師計算第2題的做法，謝謝。
回復 17# koeagle 的帖子
設大球球心\(O\),三小球球心\(A,B,C\)，\( \Delta ABC\)的重心\(G\)，射線\(OA\)上的大小兩球切點\(D\)，\(\overline{OG}=10\),\( \displaystyle \overline{AG}=10 \frac{2}{\sqrt{3}} \)則所求\(=\overline{OD}=\overline{OA}+\overline{AD}=\sqrt{\overline{OG}^2+\overline{GA}^2}+10=10(1+\sqrt{\frac{7}{3}})\)
107.6.17新增
[attach]4591[/attach]
回復 17# koeagle 的帖子
計算第 2 題設三球與碗面 ( 即題目中的水平面 ) 的切點分別是 A、B、C
半球的球心 O，半徑 R
則 △ABC 是邊長 20 的正三角形，\(\displaystyle \overline{OA}=\frac{\sqrt{3}}{2}\times 20\times \frac{2}{3}=\frac{20}{3}\sqrt{3}\)
\(\displaystyle R=10+\sqrt{10^2+\left(10 \frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2}=10(1+\sqrt{\frac{7}{3}})\)
107.6.17新增
[attach]4589[/attach]
回復 18# laylay 的帖子
謝謝老師的解答！也謝謝thepiano老師的解答！
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