D C E A B C D E C D E *
B A B : 4 * 3 * (1*3*3 + 2*2*2)^2=3468
* * *
E D F A B C D E F D E F *
B A C 4 * 3 * 2 * (1*2*2 + 2*3*2)^2=6144 3468+6144=9612
* * * 試題pdf整理，若有錯誤請不吝指教。
回復 22# czk0622 的帖子
感謝老師的無私奉獻! 辛苦了 想請問計算4沒什麼想法... 計算4
\(E(\frac{1}{X+1})=\displaystyle\sum_{k=0}^n\frac{1}{k+1}C^n_{k}p^k(1-p)^{1-k}\)
其中\(\displaystyle\frac{1}{k+1}C^n_{k}=\frac{1}{k+1}\times\frac{n!}{(n-k)!\times n!}=\frac{n+1}{k+1}\times\frac{n!}{(n-k)!\times k!\times(n+1)}=\frac{(n+1)!}{(k+1)!\times(n-k)!}\times\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n+1}C^{n+1}_{k+1}\)
所以\(\displaystyle E(\frac{1}{X+1})=\sum_{k=0}^n\frac{1}{n+1}C^{n+1}_{k+1}p^k(1-p)^{n-k}=\sum_{k=0}^n\frac{1}{(n+1)p}C^{n+1}_{k+1}p^{k+1}(1-p)^{n-k}\)
設\(t=k+1\)
\(\displaystyle \sum_{k=0}^n\frac{1}{(n+1)p}C^{n+1}_{k+1}p^{k+1}(1-p)^{n-k}=\sum_{t=1}^{n+1}\frac{1}{(n+1)p}C^{n+1}_{t}p^{t}(1-p)^{n-t+1}=\frac{1}{(n+1)p}\times(\sum_{t=0}^{n+1}C^{n+1}_{t}p^{t}(1-p)^{n-t+1}-(1-p)^{n+1})\)
\(\displaystyle=\frac{1}{p(n+1)}\times((p+1-p)^{n+1}-(1-p)^{n+1})=\frac{1-(1-p)^{n+1}}{p(n+1)}\)
[[i] 本帖最後由 zidanesquall 於 2018-4-15 22:02 編輯 [/i]]
回復 24# JingLai 的帖子
計算4 令 q=1-p ,p+q=1E(1/(X+1) ) = SUM( 1/(k+1) * C( n,k) * p^k * q^(n-k) , k=0..n )
=1/[(n+1)p] * SUM( C( n+1,k+1) * p^(k+1) * q^(n-k) , k=0..n )
=1/[(n+1)p] * [ (p+q)^(n+1)- C( n+1,0) * p^0 * q^(n+1)]
= [ 1- (1-p)^(n+1)] / [(n+1)p]
回復 7# royan0837 的帖子
計算第 3 題第 (2) 小題把\(x+y=\sqrt{2}\)視為新的\(x\)軸，\(y=x\)視為新的\(y\)軸
圓\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2\)，變為\({{x}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=2\)
所求\(=\int_{-1}^{1}{\pi {{y}^{2}}dx=}\pi \int_{-1}^{1}{{{\left( \sqrt{2-{{x}^{2}}}-1 \right)}^{2}}dx=}\frac{10}{3}\pi -{{\pi }^{2}}\)
[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2018-4-15 23:18 編輯 [/i]] 一. 8 設P0(X0,Y0)=(1,0) , Pi(Xi,Yi) i=0..6 為圓心在原點,半徑1的圓周上七個等分點 , Xi+iYi=w^i
SUM ( Xi , i=0..6 )=0 (七個半徑向量和為0向量)
則所求=SUM ( (2-Xi)^2+(0-Yi)^2 , i=1..6 )
=SUM ( 4+1-4Xi , i=1..6 )
=5*6-4*SUM ( Xi , i=1..6 )
=30 - 4*(0-X0)
=34
[[i] 本帖最後由 laylay 於 2018-4-16 12:25 編輯 [/i]]
請益計算第5題
很抱歉，小弟發現第五題的答案與大家不一樣，請問各位高手。我算出來是2904
回復 29# mojary 的帖子
先塗 D、E、F 是 4 * 3 * 3後續討論時還要分，D、F 同色和 D、F 不同色 這個方法在沒有絕對值的時候可以應用
有絕對值的時候 要如何改進才能使用
[[i] 本帖最後由 wuha0914 於 2018-4-16 17:07 編輯 [/i]] [size=3]計算題 4 [/size][size=3]印象中有看過如下方法:[/size]
[size=3][/size]
[size=3]所求 = ∑(k=0 to n) [ 1/(k+1) ] C(n,k) p^k * q^(n-k) [ 在此 q = 1 - p ][/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
[size=3]由形態聯想到 1. 二項式定理 2. 反導函數，於是考慮:[/size]
[size=3][/size]
[size=3]f(t) = (pt + q)ⁿ = ∑(k=0 to n) C(n,k) p^k * q^(n-k) * t^k[/size]
[size=3]取反導函數得:[/size]
[size=3][/size]
[size=3][1/p(n+1)] (pt + q)ⁿ⁺¹ = { ∑(k=0 to n) [ 1/(k+1) ]*C(n,k) p^k * q^(n-k) * t^(k+1) } + qⁿ⁺¹/p(n+1)[/size]
[size=3][/size]
[size=3]比較所求式，只要 t = 1 代入即可:[/size]
[size=3][/size]
[size=3]所求 = (1- qⁿ⁺¹) / p(n+1) =[color=blue] [ 1- (1 - p)ⁿ⁺¹ ] / p(n+1)[/color] [/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
謝謝鋼琴老師
針對計算5還是鋼琴老師的一開始的方法好懂！
原來是我把題目看不懂了。
謝謝。
回復 15# thepiano 的帖子
請教老師這題是如何計算的呢？^_^回復 32# cefepime 的帖子
您的 方法滿棒的 f(t)=(pt+q)^n如此一來 令 g(t)=f的二重積分=[ (pt+q)^(n+2)-(n+2)(pt)*q^(n+1)-q^(n+2) ] / [ p^2*(n+2)(n+1) ] (必須讓 g(t)為t^2 的倍式)
則 E(1/[(X+1)(X+2)] )=g(1)=[ 1-(n+2)p*q^(n+1)-q^(n+2) ] / [ p^2*(n+2)(n+1) ]
令 h(t)=f的三重積分=[ (pt+q)^(n+3)-C(n+3,2)(pt)^2*q^(n+1))-(n+3)(pt)*q^(n+2)-q^(n+3) ] / [ p^3*(n+3)(n+2)(n+1) ] (必須讓 h(t)為t^3 的倍式)
則 E(1/[(X+1)(X+2)(X+3)] )=h(1)=[ 1-C(n+3,2)p^2*q^(n+1)-(n+3)p*q^(n+2)-q^(n+3) ] / [ p^3*(n+3)(n+2)(n+1) ]
令m(t)=f(t)的微分=np(pt+q)^(n-1) , 則 E(X)=m(1)=np
令r(t)=f(t)的二重微分=n(n-1)p^2*(pt+q)^(n-2) ,
則 E(X(X-1))=r(1)=n(n-1)p^2 =>VAR(X)=E(X^2)-E(X)^2= E(X(X-1))+E(X)-E(X)^2=n(n-1)p^2+np-(np)^2=npq
E(X(X-1)(X-2))=n(n-1)(n-2)p^3 => E(P(X,k))=P(n,k)*p^k
[[i] 本帖最後由 laylay 於 2018-4-17 12:28 編輯 [/i]] 第八題我是這麼算的，不知道有沒有哪邊有錯誤？
\(\omega=\displaystyle\cos\frac{2\pi}{7}+i\sin\frac{2\pi}{7}\)為\(z^7=1\)的一個複數根
\(z^7-1=0\)可以分解成\((z-1)(z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+z+1)=0\)
所以\((\omega-1)(\omega^6+\omega^5+\omega^4+\omega^3+\omega^2+\omega+1)=0\)
\(|2-\omega|^2+|2-\omega^2|^2+|2-\omega^3|^2+|2-\omega^4|^2+|2-\omega^5|^2+|2-\omega^6|^2\)展開可得
\(24-3(\omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4+\omega^5+\omega^6)=27-3(1+\omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4+\omega^5+\omega^6)\)
因為\(1+\omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4+\omega^5+\omega^6=0\)
所以\(|2-\omega|^2+|2-\omega^2|^2+|2-\omega^3|^2+|2-\omega^4|^2+|2-\omega^5|^2+|2-\omega^6|^2=27\)
回復 13# czk0622 的帖子
謝謝老師～～我搞錯方向了！！回復 34# Christina 的帖子
我不知道鋼琴老師有沒有更方便的方式我的方式是慢慢算XD
(1)一天三節：全部-連三節排-四五同時排但不連三
\(\displaystyle C^8_3-\displaystyle\frac{6!}{5!}-4=46\)
(2)一天四節：全部-連四節排-連三節排-四五同時排但不連三也不連四
\(\displaystyle C^8_4-\displaystyle{5!}{4!}-C^5_2 \times 2!-(2+C^2_1 \times C^2_1)=39\)
(3)一天五節：全部-連五節排-連四節排-連三節排-四五同時排但不連三、不連四、不連五
\(\displaystyle C^8_5-\displaystyle{4!}{3!}-C^4_2 \times 2!-(C^4_2 \times 2!+C^4_3 \times\displaystyle\frac{3!}{2!})=12\)
一共97種
[[i] 本帖最後由 zidanesquall 於 2018-4-17 11:52 編輯 [/i]]
回復 34# Christina 的帖子
討論跟中間那格相鄰的那四格(1) 四同
中間有 4 種填法，相臨四格有 3 種填法，角落四格各有 3 種填法
4 * 3 * 3^4 = 972 種
(2) 三同一異
中間有 4 種填法，相臨四格有 3 * 2 * 4 種填法，角落四格中有兩格是 3 種填法，有兩格是 2 種填法
4 * (3 * 2 * 4) * (3^2 * 2^2) = 3456 種
(3) 二同二同
(i) 二同相對，另兩同也相對
中間有 4 種填法，相臨四格有 C(3，2) * 2 種填法，角落四格各有 2 種填法
4 * [C(3，2) * 2] * 2^4 = 384 種
(ii) 二同均不相對
中間有 4 種填法，相臨四格有 C(3，2) * 4 種填法，角落四格中有兩格是 3 種填法，有兩格是 2 種填法
4 * [C(3，2) * 4] * (3^2 * 2^2) = 1728 種
小計 2112 種
(4) 二同二異：
(i) 二同相對
中間有 4 種填法，相臨四格有 3 * 2 * 2 種填法，角落四格各有 2 種填法
4 * (3 * 2 * 2) * 2^4 = 768 種
(ii) 二同不相對
中間有 4 種填法，相臨四格有 3 * 4 * 2 種填法，角落四格中有一格是 3 種填法，有三格是 2 種填法
4 * (3 * 4 * 2) * (3 * 2^3) = 2304 種
小計 3072 種
總計 972 + 3456 + 2112 + 3072 = 9612 種
回復 38# zidanesquall 的帖子
排課問題，小弟是這樣算的(1) 一天三堂
與您相同做法
(2) 一天四堂
(a) 排四不排五
(最前面三節，最後面三節) = (2，1) 、(1，2)
2 * 3 + 3 * 3 = 15
(b) 排五不排四
同 (a)，15 種
(c) 四五都不排
(最前面三節，最後面三節) = (2，2)
3 * 3 = 9 種
小計 39 種
(3) 一天五堂
(d) 排四不排五
(最前面三節，最後面三節) = (2，2)
2 * 3 = 6
(e) 排五不排四
同 (d)，6 種
小計 12 種
總計 46 + 39 + 12 = 97 種