Math Pro 數學補給站 » 高中的數學 » 遞迴數列證明各項必為自然數一題

a0608we 發表於 2018-4-12 20:53

遞迴數列證明各項必為自然數一題

a_1=1,a_n=[(4n-2)/n]*a_(n-1)，證明a_n皆為正整數

thepiano 發表於 2018-4-12 22:27

回復 1# a0608we 的帖子

\(\begin{align}
  & {{a}_{n}}=\frac{6}{2}\times \frac{10}{3}\times \frac{14}{4}\times \cdots \cdots \times \frac{4n-2}{n}\quad \left( n\ge 2 \right) \\
& =\frac{{{2}^{n-1}}\times \left( 2n-1 \right)!!}{n!} \\
& =\frac{{{2}^{n}}\times \left( 2n-1 \right)!!\times n!}{2\times n!\times n!} \\
& =\frac{\left( 2n \right)!}{2\times n!\times n!} \\
& =\frac{2n\times \left( 2n-1 \right)!}{2\times n!\times n!} \\
& =\frac{\left( 2n-1 \right)!}{n!\times \left( n-1 \right)!} \\
& =C_{n}^{2n-1} \\
\end{align}\)
是正整數

a0608we 發表於 2018-4-12 23:33

太強大了!感謝thepiano老師

我還是第一次知道雙階乘的東西!受益良多，感謝

laylay 發表於 2018-4-13 11:19

n>=2 時  an的分母=n!,可利用歸納法證明an的分子=6*10*14*.....(4n-2)=(2n-1)*(2n-2)*.....*n  (=P(2n-1,n) ) 即可得an=C(2n-1,n)
n=k+1時 左式=[ (2k-1)*(2k-2)*.....*k ] *[ 4(k+1)-2 ]         ( [ 4(k+1)-2 ]=(2k+1) *2 )      
                      = (2k+1)*(2k)*.....*(k+1)=右式

laylay 發表於 2018-4-13 11:35

回復 2# thepiano 的帖子

您是上下同乘以n! , 若改成上下同乘以(n-1)! , 是否有簡單許多?

thepiano 發表於 2018-4-13 16:58

回復 5# laylay 的帖子

這樣的確較快

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