重複組合之有上限問題
想請教各位前輩，當重複組合問題遇到有上限的時候改怎麼辦呢？例題1：
x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=10
且x₁、x₂、x₃、x₄、x₅均為介於0~9之整數
答案：996
這題是先做H⁵₁₀-5，因為有五種不合的情況
例題2
x₁+x₂+x₃+x₄=16
且x₁、x₂、x₃、x₄均為介於0~5之整數
答案：35
這題則先做H⁴₁₆- C⁴₁ x H⁴₁₀ + C⁴₂ x H⁴₄=35
先算全部做法--其中一個先拿6個+其中2個先拿6+6共12個
例題3
x₁+x₂+x₃+x₄=16，滿足x₁≦4，x₂≦4，x₃≦5，x₄≦6之正整數解有幾組？
答案：20
這題我就不知道怎麼算比較好~~
再請益，這類問題有固定做法嗎
或者是說當總和更高時該怎麼辦？
回復 1# kggj5220 的帖子
例題1 → 如例題1及例題2你寫的方法。其實就是排容原理。例題2
\(x_1+x_2+x_3+x_4 = 16 \Rightarrow \left(5-x_1\right)+\left(5-x_2\right)+\left(5-x_3\right)+\left(5-x_4\right) = 4\)
令 \(y_1 = 5-x_1\) ， \(y_2 = 5-x_2\) ， \(y_3 = 5-x_3\) ， \(y_4 = 5-x_4\)
則原題目等同於
求 \(y_1+y_2+y_3+y_4 = 4\) 的非負整數解有多少組，其中 \(y_1, y_2, y_3, y_4\) 均為介於 \(0\) ~ \(5\)之整數
所以答案就是 \(H_4^4 = 35\)
例題3，原理同上， \(x_1+x_2+x_3+x_4 = 16 \Rightarrow \left(4-x_1\right)+\left(4-x_2\right)+\left(5-x_3\right)+\left(6-x_4\right) = 3\)
所以答案就是 \(H_3^4 = 20\)
教到這部分，我喜歡問學生： "四顆骰子放在桌面上，已知桌面上看去四顆點數和為 \(20\)，那這四顆骰子與桌面相貼在一起的那四面，點數和又是多少？" 並提示學生，骰子對面的兩個點數和為 \(7\)，也就是抽任一顆骰子來看看，都會發現 \(1\) 的對面是 \(6\)，\(2\) 的對面是 \(5\)，\(3\) 的對面是 \(4\)。
回復 2# weiye的帖子
感謝瑋岳大詳細解說~~在思考過您的例子之後
就我的例題2我自己是這樣解釋
令\( x_1+x_2+x_3+x_4=16\)，且每一個括號總和為5
所以有\(x_1+y_1=5\)、\(x_2+y_2=5\)、\(x_3+y_3=5\)、\(x_4+y_4=5\)
這樣x、y會彼此限制，都不會超過5
因為\(x_1+y_1=5\) \( \Rightarrow \) \(y_1=5-x_1\)
所以題意等同問 \(y_1+y_2+y_3+y_4=16\)，此時符合\(y_1\le5\)、\(y_2\le5\)、\(y_3\le5\)、\(y_4\le5\)
即\((5-x_1)+(5-x_2)+(5-x_3)+(5-x_4)=16 \Rightarrow x_1+x_2+x_3+x_4=4\)即\(H^4_4\)
不知這樣是否正確？
再來還有一個小疑惑，我的例題3是求正整數，這樣不會有影響嗎？？
骰子問題是這樣的：令\(x_1+x_2+x_3+x_4=20\)
其中\(x_1+y_1=7\)、\(x_2+y_2=7\)、\(x_3+y_3=7\)、\(x_4+y_4=7\)
\( \Rightarrow (x_1+x_2+x_3+x_4)+(y_1+y_2+y_3+y_4)=4x7\)
所以有\(y_1+y_2+y_3+y_4=8\) 請問...怎麼都會自己置中.......... [attach]4343[/attach]
顯示出來就是位在行內的數學式： \(x^2\)
[attach]4344[/attach]
顯示出來就是單獨一行且置中的數學式： \[x^2\]
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例題3：
\(1\leq x_1 \leq4 \Rightarrow 0\leq4-x_1\leq3\)
\(1\leq x_2 \leq4 \Rightarrow 0\leq4-x_2\leq3\)
\(1\leq x_3 \leq5 \Rightarrow 0\leq5-x_3\leq4\)
\(1\leq x_4 \leq6 \Rightarrow 0\leq6-x_4\leq5\)
然而 \(\left(4-x_1\right)+\left(4-x_2\right)+\left(5-x_3\right)+\left(6-x_4\right) = 3\)
所以 \(\left(4-x_1\right), \left(4-x_2\right), \left(5-x_3\right), \left(6-x_4\right)\) 都不會超過三，
因此不會有影響。
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例題2：你回覆的數學式子地方，有打字上的小錯誤， 第一個方程式多打 \(y_1\) 到 \(y_4\) 了。
回復 3# weiye的帖子
終於懂了~感謝老師不吝指教!!回復 1# kggj5220 的帖子
先當做4個箱子都放滿共4+4+5+6=19 球, 再在4個箱子取出3 球=H(4,3) 即可回復 7# laylay 的帖子
感謝laylay老師的妙招~這後來我有思考過但這方法不適用在我的例題一，因為H(5,35)會發生取球取到變負的~我想我之前應該就是在這轉換之間打結的
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