105新北市國中聯招
12.13.題別人問我解不出12.
不大於50的正整數\(n\)中，有多少個正整數\(n\)使得\(2^n-n^2\)為7的倍數？
(A)20 (B)18 (C)16 (D)10
13.
某直角三角形的三邊形分別為\(a\)、\(b\)、\(c\)，其中\(c\)為斜邊長。若\( \displaystyle \frac{a+b+c}{a+c}=\sqrt{2} \)，且此三角形的面積為2，則此三角形的周長為多少？
(A)\(4+\sqrt{6}\) (B)\(4+2\sqrt{2}\) (C)\(4+2\sqrt{6}\) (D)\(5+3\sqrt{2}\)
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給你一個建議，把題目正拍比較快有答案，反拍看不懂，不要折磨別人脖子回復 1# nanpolend 的帖子
這裡有答案[url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=46&t=6551[/url] 第12題：附註：==為除7的餘數
只看兩者餘數，相同的話就可以被7整除
但是2^1==2，2^2==4，2^3==1，三個一循環
n^2的餘數排列為1，4，2，2，4，1，0(只列1~7，後面只是一直循環)
接著就式排列它，因為共要21個才會一循環，這題技巧不多，只是窮舉而以
第13題：
令a=c*cosx，b=c*sinx
(a+b+c)/(a+c)=1+b/(a+c)=1+sinx/(1+cosx)=根號2
移項，再兩邊平方
sin^2 x/(cosx+1)^2=3-2根號2
把sin換掉可以得到cosx=根號2
所以c=根號8，a=b=2
答案為4+2根號2 [size=3]第13題 亦可:[/size]
[size=3][/size]
[size=3][color=blue]法1:[/color][/size]
[size=3][/size]
[size=3][(a+c) + b]² = 2*(a+c)²[/size]
[size=3][/size]
[size=3]b² + 2b(a+c) = (a+c)²[/size]
[size=3][/size]
[size=3](c² - a²) + 2b(a+c) = (a+c)²[/size]
[size=3][/size]
[size=3](c-a) + 2b = a+c[/size]
[size=3][/size]
[size=3]a = b[/size]
[size=3][/size]
[size=3][size=3](a, b, c) = (2, 2, 2√2)[/size]
[/size][size=3][/size]
[size=3][/size]
[size=3][color=blue][/color][/size]
[size=3][color=blue]法2:[/color][/size]
[size=3][/size]
[size=3]b / (a+c) = √2 -1，取倒數改為:[/size]
[size=3][/size]
[size=3](a+c) / b = 1+√2[/size]
[size=3][/size]
[size=3][a+√(a²+b²)] / b = 1+√2，令 t = a/b[/size]
[size=3][/size]
[size=3]t+√(t²+1) = 1+√2[/size]
[size=3][/size]
[size=3]t = 1[/size]
[size=3][/size]
[size=3](a, b, c) = (2, 2, 2√2)[/size]
[size=3][/size]
[size=3][color=#0000ff][/color][/size]
[size=3][color=#0000ff][/color][/size]
[size=3][color=#0000ff]法3:[/color][/size]
[size=3][/size]
[size=3]b / (a+c) = √2 -1[/size]
[size=3][/size]
[size=3]tan (B/2) = √2 -1，在此 B 是 b 的對角[/size]
[size=3][/size]
[size=3]B = 45°[/size]
[size=3][/size]
[size=3](a, b, c) = (2, 2, 2√2)[/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
[[i] 本帖最後由 cefepime 於 2018-3-30 17:43 編輯 [/i]]
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感謝各位解答太久沒有發問了頁:
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