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a0608we 發表於 2017-10-2 10:15

有關三角形邊長與高的不等式證明

三角形三邊長a、b、c及對應的高為h_a、h_b、h_c
試證(a/h_a)+(b/h_b)+(c/h_c)>=5/2

cefepime 發表於 2017-10-2 11:57

[size=3]對於所求式，我用柯西+海龍+算幾，得到下界 2√3，取等條件為正三角形。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]題目的下界，似可用排序不等式簡明得到:[/size]
[size=3][/size]
[size=3](a / h_a) + (b / h_b) + (c / h_c) ≥ (a / h_b) + (b / h_c) + (c / h_a) > 3[/size]
[size=3][/size]
[size=3](∵ a ≥ h_b，餘類推)[/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]

a0608we 發表於 2017-10-2 12:47

忘記題目有一條件為非鈍角三角形，謝謝!

cefepime 發表於 2017-10-2 20:54

[size=3]所有三角形皆滿足的性質，當然也適用於"有條件的三角形"。[/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]-------------------

[size=3]下界 2√3 的另一個求法:[/size]
[size=3][/size]
[size=3]題目左式 [/size]
[size=3][/size]
[size=3]≥ csc A + csc B + csc C  (排序不等式)

[size=3]≥ 3 csc 60°  (Jensen 不等式)
[/size][/size]
[size=3]= 2√3 [/size]

[[i] 本帖最後由 cefepime 於 2017-10-2 21:08 編輯 [/i]]

a0608we 發表於 2017-10-3 08:26

cefepime老師及板上各位老師不好意思，出題者再次向我更正題目為:
非鈍角三角形，邊長a,b,c上對應的高分別為h_a,h_b,h_c,試證
(h_a/a)+(h_b/b)+(h_c/c)>=5/2
造成困擾，抱歉!

cefepime 發表於 2017-10-20 00:00

[size=3]以下是我的嘗試，頗為繁複。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]不妨設 ∠A ≥ ∠B ≥ ∠C。因注意到在等腰直角三角形的情形取等號，故嘗試證明以下兩個引理，原題即可得證:[/size]
[size=3][/size]
[size=3]引理一: 在 ∠A 為定值時，當 ∠B = ∠C，求式有最小值。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]引理二: 當 ∠B = ∠C，則 ∠A 愈大，求式值愈小。[/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
[size=3]引理一的證明:[/size]
[size=3][/size]
[size=3]令 cot A = x，cot B = y，cot C = z[/size]
[size=3][/size]
[size=3]由和角公式: x = (1 - yz) / (y+z) ... (#)[/size]
[size=3][/size]
[size=3]求式 = 1/(x+y) + 1/(x+z) + 1/(y+z)[/size]
[size=3][/size]
[size=3]= [2x+y+z] /[x²+x(y+z)+yz] + 1/(y+z)[/size]

[size=3]= [2x+y+z] /(x²+1) + 1/(y+z)  (利用 # 式)[/size]

[size=3]= 2x/(x²+1) + (y+z)/(x²+1) + 1/(y+z)[/size]
[size=3][/size]
[size=3]在 x 為定值時，因為:[/size]
[size=3][/size]
[size=3]1. (y+z)/(x²+1) 與 1/(y+z) 的乘積為定值[/size]
[size=3][/size]
[size=3]2. 當 y = z，(y+z)/(x²+1) 有最小值，而 1/(y+z) 有最大值 (基於 cot 的凹性)[/size]
[size=3][/size]
[size=3]3. 當 y = z， (y+z)/(x²+1) ≥ 1/(y+z)  (利用 # 式，及最小角必 ≤ 60°)[/size]
[size=3][/size]
[size=3]綜合 1. 2. 3.，引理一得證。[/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
[size=3]引理二的證明:[/size]

[size=3]不妨設最大邊長 a = 2，其上的高 = h，則[/size]
[size=3][/size]
[size=3]求式 = f(h) = h/2 + 4h/(1+h²)[/size]
[size=3][/size]
[size=3]f '(h) = (h²-3)² / 2(1+h²)² ≥ 0[/size]
[size=3][/size]
[size=3]即求式值隨 h 遞增而遞增，從而引理二得證。[/size]
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[size=3][/size]
[size=3]綜上，求式在等腰直角三角形有最小值 5/2，得證。[/size]
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