這種說法對嗎(關於多項式......)
令方程式x^4+2x^3+bx^2+cx+15=0有四個有理根 且b,c皆為整數,試求有理根最大值做法一:
因為方程式為整係數方程式,所以有理根可能為1 , -1 , 3 , -3 , 5 , -5 , 15 , -15 等八種
因為四根和為-2 所以取(x+1)(x-1)(x-3)(x+5) 所以最大有理根為3 .....以上這種做法是最常見到的
若把"b,c皆為整數"這個條件拿掉,上述做法是不是就不對......
所以我的做法改為如下
作法二:
假設四根有理根分別為p,q,r,s 根據根與係數可知p+q+r+s=-2 pqrs=15
因為這個聯立方城組我並不知道是不是具有理數解,甚至有解的話是不是會唯一
因此我企圖用愚公移山的方法從有理數系中尋找解(我並不是從1 , -1 , 3 , -3 , 5 , -5 , 15 , -15 當中去尋找),
很超級..超級.....幸運的讓我找到一組不考慮次序性的解,就是(1,-1,3,-5),
接下來我懷疑當這是唯一嗎,我的答案是肯定的,因為根據因式分解定理當中所提到的唯一性
所以上述方城組p+q+r+s=-2 pqrs=15的有理解是唯一的 因此有理根最大值是3
我的問題是
第一:原題目有設定b,c皆為整數,主要目的是不是要讓學生從1 , -1 , 3 , -3 , 5 , -5 , 15 , -15 等八種中去尋找合乎題意的,
而不是從龐大的有理係數當中去尋找
第二:如果第一個問題答案是肯定的,那也就代表"b,c皆為整數"是多餘條件,沒有這個條件依樣可以算(只是難度變大)
以上我的認知是對的嗎......謝謝各位老師........ 我認為整數是一定要給的，一次因式檢驗法的前提是整係數多項式，如果有有理根就可以使用
這題表明了是整係數多項式而且告訴我四個全都是有理根，所以由一次因式檢驗法就可以得到四個根的可能
如果說這題改成有理係數，先假設b=1/2就好，那我們最簡單的方法應該是直接把f(x)乘2再來一次因式檢驗法
由上就可以推得b,c去浮動分母的時候我的根應該是會亂飄的
回復 1# kyrandia 的帖子
作法2 裡我不知道你怎麼從因式分解定理得推得這裡的方程也會有唯一性的
但，我的直覺是沒有唯一性，應該有其它有理數的解，而且還會很多
為了方便湊，我加了限制條件 \( p+q =0 \) 且 \( r+s =-2 \)
在此條件下，可化簡為 \( p^2 = 15/r(2+r) \)
將 \( r \) 寫作 \( \frac a b \)，其中 \( a, b \in \mathbb{Z} \)
可得 \( p^2 a^2(a+2b)^2 = 15 a(a+2b) b^2 \)
取 \( a=1, b=7 \) 可湊得一組有理解 \( 7, -7, \frac 1 7, - \frac{15} 7 \) [quote]原帖由 [i]tsusy[/i] 於 2017-7-7 13:10 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=17737&ptid=2834][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
作法2 裡
我不知道你怎麼從因式分解定理得推得這裡的方程也會有唯一性的
但，我的直覺是沒有唯一性，應該有其它有理數的解，而且還會很多
為了方便湊，我加了限制條件 \( p+q =0 \) 且 \( r+s =-2 \)
在此條件下，可化簡為 ... [/quote]
謝謝老師.......我知道我錯在哪裡 我誤用"唯一性"
當b,c沒有固定,怎麼可能分解會唯一呢.....是這樣的吧.....
所以此題若沒有"b,c是整數"的條件限制,會得到一堆有理解
當這個限制加上去,這一大堆有理解瞬間只剩下一組
是這樣的吧.......再次謝謝....
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