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大膽假設,小心求證。

eyeready 發表於 2017-6-29 10:45

請教兩題

\(
1 關於x的函數 y = \frac{1}{{ - a - ax + x^2 }}在[-2,-\frac{1}{2}]上單調遞增,那麼a的取值範圍?(高一解法)
\)
ans:\( -1 \le a < \frac{1}{2}
\)

\(
2 己知( log _3 5)^x - (\log _7 5)^x  \ge (\log _3 5)^{ - y} - (\log _7 5)^{ - y} ,則下列不等式正確的是?
\)
\(
(A) x-y \ge 0 (B)x-y \le 0  (C) x+y \ge 0  (D) x+y \le 0
\)
\(
ans: C
\)

[[i] 本帖最後由 eyeready 於 2017-6-29 16:50 編輯 [/i]]

cefepime 發表於 2017-6-29 13:22

[size=3]1. 想法: 先考察  y = 1/t 的圖形: 看 y 要單調遞增,t 的充要條件為何,再進一步推得 x 的範圍。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]y 在 [-2, -1/2] 單調遞增[/size]
[size=3][/size]
[size=3]⇔ t 在 [-2, -1/2] 單調遞減且皆同號[/size]
[size=3][/size]
[size=3]⇔ (觀察 t = x² -ax - a 的圖形) a/2 ≥ -1/2 且 (a+4)*(-a/2 + 1/4) > 0[/size]
[size=3][/size]
[size=3]⇔ -1 ≤ a < 1/2[/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
[size=3]2. 想法: 左右式皆由指數函數構成,可藉由觀察圖形或指數函數的單調性比較大小。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]令 a = [size=4]log[/size][size=2]_3[/size] [/size][size=4]5[size=3],b =[/size] [size=4]log[/size][size=2]_7[/size] [size=4]5[size=3],則 [/size][size=3]0 < b < 1 < a[/size][/size][/size]
[size=4][size=4][/size][/size]
[size=4][size=4][size=3]作出指數函數圖形 f(n) = aⁿ 與 g(n) = bⁿ[/size][/size][/size]
[size=4][/size]
[size=3]由圖形 (或不作圖而由指數函數的單調性) 易知,f(n) - g(n) 之值隨 n 遞增而遞增,從而 x ≥ -y[/size]
[size=3][/size]
[size=3]故  x + y ≥ 0[/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]

eyeready 發表於 2017-6-29 16:37

回復 2# cefepime 的帖子

感激不盡!小弟要像老師您如此功力不知還要多少年載@@

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