高雄中學102第二學期第一次段考自然組
5.橢圓\(\Gamma\)：\( \displaystyle \frac{x^2}{7}+\frac{y^2}{16}=1 \)中，\(F\)為焦點，其\(y\)坐標為正。\(P(x,y)\)為\(\Gamma\)上的動點、點\(Q(6,5)\)。試求\( \overline{PQ}-\overline{PF} \)的最小值[u] [/u]
答案為2，試求解
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先附三個類題，這三個類題是點 Q 在橢圓內，求相加，但做法一樣，就是利用到兩焦點距離和 \( = 2a \) 及三角不等式已知點 P 為橢圓 \( \frac{x^{2}}{64}+\frac{y^{2}}{28}=1 \) 上的點, \( A(6,0)\,,B(-3,4) \)，求 \( \overline{PA}+\overline{PB} \) 的最小值為？ (100玉井工商)
坐標平面上，已知點 A(4,0) 和 B(3,3)，P 是橢圓 \( \frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{20}=1 \) 上的動點，則 \( \overline{PA}+\overline{PB} \) 的最小值為 __________。 (100彰化女中)
\( \Gamma:\,\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{7}=1 \), \( F(3,0), A(-3,1) \)，P 在 \( \Gamma \) 上，設 \( \overline{PA}+\overline{PF} \) 最大值 M，最小值 m，則 (M,m)=_________。 (99建中市內)
此題解答：
橢圓 \( \Gamma: \frac{x^2}{7} + \frac{y^2}{16} =1 \) 中，\( F \) 為焦點，其 \( y \) 坐標為正。\( P(x,y) \) 為 \( \Gamma \) 上的動點要 \( Q(6,5) \)。試求 \( \overline{PQ} - \overline{PF} \) 的最小值 __________
解：兩焦點 \( F(0,3), F'(0,-3) \)，\( \overline{PF} = 8 - \overline{PF'} \)。
\( \overline{PQ} - \overline{PF} = \overline{PQ} + \overline{PF'} - 8 \geq \overline{QF'} - 8 = 10 - 8 =2 \)
當 \( P \) 為 \( \overline{QF'} \) 與 \( \Gamma \) 的交點時，達最小值 2。 謝謝寸絲大大
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