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wushing 發表於 2007-9-28 15:11

請問除法法則要怎麼證明他是對的呢?

請問除法法則要怎麼證明他是對的呢?
有沒有人會它整個證明的過程^^"麻煩了


let a and b be integers with b>0. then there exist unique integers q and r with the property that a = bq+r, where 0 < r < b or 0 = r < b.

[[i] 本帖最後由 wushing 於 2007-9-28 08:30 PM 編輯 [/i]]

weiye 發表於 2007-9-28 20:24

可以說得詳細一點嗎?你所說的除法法則是?
有英文名稱嗎?(數論的 [url=http://en.wikipedia.org/wiki/Division_algorithm]division algorithm[/url] 嗎?)
哪個領域的呢?
分數除法法則?整數除法法則?多項式除法法則?微分除法法則?還是極限的除法法則?
可以大概描述一下你要問的東西是什麼嗎?:)

weiye 發表於 2007-9-28 22:13

[quote]原帖由 [i]wushing[/i] 於 2007-9-28 03:11 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=335&ptid=282][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
let a and b be integers with b>0. then there exist unique integers q and r with the property that a = bq+r, where 0 < r < b or 0  ... [/quote]

這是數論裡面整數的除法原理,

幾乎數論的書(至少英文的啦)都會有證明

如果手邊沒有書的話可以參考
[url=http://en.wikipedia.org/wiki/Division_algorithm]http://en.wikipedia.org/wiki/Division_algorithm[/url]

[b]簡述[/b]上面維基百科的證明(請參見原文討論較詳細),

要證明 a 被 d 除,一定可以找到商數 q 與餘數 r ,使得 a = qd + r ,

首先證商數與餘數的存在性,

令 [img]http://upload.wikimedia.org/math/2/c/d/2cd512ea61eaf2c8f7b388a7a85255ec.png[/img]

不管 d>0 or d<0  ,都可以根據阿基米得原理知道 S 必包含有非負的整數為元素,

再根據良序法則,自然數的非空子集必包含有最小元素,故令此元素為 r ,

可得 r 是 a - nd 的最小正元素,令此時的 n 為 q ,則可得 a = qd +r

接下來,要證: 0 ≤ [i]r[/i] < |[i]d[/i]|

0 ≤ [i]r [/i]的部分,根據 r 當初選許的特性(正整數集合的非空子集的最小元素),恆成立。

若 r ≧ |[i]d[/i]| ,則分開討論若 d >0 or d<0 ,都可以選取新的商數 q' ,使得 r 並非 [img]http://upload.wikimedia.org/math/2/c/d/2cd512ea61eaf2c8f7b388a7a85255ec.png[/img]裡面的最小正元素。

故,對任意的整數 a, 非零整數 d ,皆[b]存在[/b] q 與 r ,使得 a = qd +r ,且 0 ≤ [i]r[/i] < |[i]d[/i]|

接下來,後半段證明: q 與 r 的唯一性。

假設 a 被 d 除,有兩組 q,r, Q, R 皆滿足 a = qd +r ,且 0 ≤ [i]r[/i] < |[i]d[/i]| ,a = Qd +R ,且 0 ≤ [i]R[/i] < |[i]d[/i]|

不失一般性,可以假設 q ≤ Q ,因為 a = qd +r = Qd +R ,移項,得 d(Q-q) = (r-R) ,

若 d 為正數,因為 d 與 Q-q 皆非負,所以 r-R 非負,故 r≧R ,

但因為 0 ≤ [i]r[/i] < |[i]d[/i]| = d 且 0 ≤ [i]R[/i] < |[i]d[/i]| = d ,所以 0 ≤ r-R < d (前半塊的 0 ≤ 是由於上面那行 r-R 非負)

同理,若 d <0 討論可得 0 ≤ |r-R| < |d| ,但因為 d(Q-q) = (r-R) ,表示 r-R 是 d 的倍數 ,

故 |r-R|=0 ,也就是 r-R =0 ,也就是 r=R ,帶入  d(Q-q) = (r-R) = 0 ,因為 d 非零,所以 Q-q =0

也就是 Q=q ,唯一性由此得證。







或是參見 [url=http://www.maths.mq.edu.au/%7Ewchen/]WILLIAM CHEN 教授[/url] 在網站上提供的講義,
[url=http://www.maths.mq.edu.au/%7Ewchen/lnentfolder/ent01-df.pdf]http://www.maths.mq.edu.au/%7Ewchen/lnentfolder/ent01-df.pdf[/url]

第一頁的第一個定理(及證明)就是了

wushing 發表於 2007-9-29 22:19

感謝您的回應…辛苦
^^”

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