106羅東高中
填充7.在三角形\(ABC\)的三邊\(\overline{BC}\)、\(\overline{CA}\)、\(\overline{AB}\)上依次取\(D\)、\(E\)、\(F\)點，且使\(\overline{BD}:\overline{DC}=\overline{CE}:\overline{EA}=\overline{AF}:\overline{FB}=1:2\)，令\(\overline{AD}\)與\(\overline{CF}\)交於\(P\)點，\(\overline{BE}\)與\(\overline{AD}\)交於\(Q\)點，\(\overline{CF}\)與\(\overline{BE}\)交於\(R\)點，求\(\Delta ABC\)與\(\Delta PQR\)的面積比。
[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=948&page=1#pid2128[/url]
填充10.
設\(f(x)\)為定義於所有有理數上的函數，且\(f(x+y)=f(x)+f(y)+xy\)對所有有理數\(x,y\)皆成立。若\(f(4)=14\)，求\( \displaystyle f(\frac{2}{3})\)。
設\(f(x)\)為定義於所有有理數上的函數，且\(f(x+y)=f(x)+f(y)+xy\)對所有有理數\(x,y\)皆成立。若\(f(4)=14\)，則\(\displaystyle f(\frac{1}{3})=\)[u] [/u]。
(102高中數學能力競賽 北三區(新竹高中)筆試二試題，[url]https://math.pro/db/thread-2359-1-1.html[/url])
計算1.
求出此無窮根號之値：\( \sqrt{6+2\sqrt{7+3\sqrt{8+4\sqrt{9+\ldots}}}} \)。
(只寫出答案部分給分，滿分須嚴謹計算證明過程)
[url]https://math.pro/db/thread-2017-1-1.html[/url]
計算2.
令左式為f(x),則f(x)顯然為遞增函數f(10)=150,f(10-)=146,故無147的函數值存在的空間
12.
設abc=-k,則 a,b,c為f(x)=x^3-9X^2+k=0 的三個實根,y=f(x)之圖形隨k值而上下平移
f`(x)=3x^2-18x=0 => x=0,6
欲使a+b=9-c最大,便要使最小的根c達到最小=>f(0)=k要最大,且具有三實根
=>f(6)=0,此時由圖易知a=b=6,故a+b 最大值=12
12.另解
填充10
計算錯誤，修正後與laylay老師答案一樣[[i] 本帖最後由 yinchou 於 2017-6-19 16:26 編輯 [/i]]
10.
f(0+0)=f(0)+f(0)+0*0=>f(0)=0f(x+x)=f(x)+f(x)+x*x=>f(2x)=2f(x)+x^2.....(A)
當f(x)為多項式時,顯然次數為二次
設f(x)=ax^2+bx
則由(A)知 4a=2a+1=>a=1/2,再由f(4)=14得f(x)=(x^2+3x)/2 (此代入原式 左式=[(x+y)^2+3(x+y)]/2=右式 , 也符合)
=> f(2/3)=11/9
以下證明 對於所有的有理數x,f(x)=(x^2+3x)/2 .......
f(3x))=f(x)+f(2x)+x(2x)=f(x)+2f(x)+x^2+2X^2=3f(x)+(1+2)x^2
f(4x)=f(x)+f(3x)+x(3x)=f(x)+3f(x)+(1+2)x^2+3X^2=4f(x)+(1+2+3)x^2 ........
可導出n為正整數時f(nx)=nf(x)+[n(n-1)/2]*x^2 => f(x)=nf(x/n)+[(n-1)/(2n)]*x^2
=>f(x/n)={f(x)-[(n-1)/(2n)]*x^2}/n
f(1)=f(4/4)=(f(4)-3/8*16)/4=2
p為正整數時 f(p)=f(p*1)=pf(1)+p*(p-1)/2*1^2=(p^2+3p)/2
q為正整數時 f(p/q)={f(p)-[(q-1)/(2q)]*p^2}/q={(p^2+3p)/2-[(q-1)/(2q)]*p^2}/q
={(1/2q)p^2+(3/2)p}/q=[(p/q)^2+3(p/q)]/2
f(x+(-x))=f(x)+f(-x)+x(-x)=>f(-x)=x^2-f(x)
=>f(-p/q)=(p/q)^2-[(p/q)^2+3(p/q)]/2=[(-p/q)^2+3(-p/q)]/2
又f(0)=0=(0^2+3*0)/2,故可知對於所有的有理數x, f(x)=(x^2+3x)/2
[[i] 本帖最後由 laylay 於 2017-6-20 02:38 編輯 [/i]] 想問計算第3題
證明不存在實數\(x\)，使得\([x]+[2x]+[4x]+[8x]=147\)。
幫補個計算第2題的連結
[url]https://math.pro/db/thread-1892-3-1.html[/url]
回復 7# BambooLotus 的帖子
小弟的作法是坐標化[[i] 本帖最後由 eyeready 於 2017-6-22 09:09 編輯 [/i]]
回復 7# BambooLotus 的帖子
計算三設正方形ABCD的邊長為1，在邊 及 上分別取一點E、F，使得AEF周長為2，求 角ECF
另作 :
以C為圓心BC為半徑畫圓
由E對圓作切線交AD 於H,G為切點
則EG=EB,HG=HD => AEH周長= AB+AD= 2 =AEF周長 => H=F
角ECF=角BCD/2=45度
[[i] 本帖最後由 laylay 於 2017-6-22 11:28 編輯 [/i]] 小弟算的參考答案，麻煩偵錯一下囉！感謝！
第1題 \(\displaystyle \frac{{\rm{1}}}{{{\rm{2}}^{{\rm{89}}} }} \) (thepiano大校正)
第2題 \(\displaystyle {\rm{2 + }}\sqrt {\rm{3}} \)
第3題 \(\displaystyle ln2\)
第4題 \(13 \le m < \frac{{53}}{4}\)
第5題 \(\displaystyle \frac{{8\sqrt {10} }}{{25}} \)
第6題 \(\displaystyle \frac{{128}}{3} \) (thepiano 大校正)
第7題 \(7:1\)
第8題 \(\displaystyle 37\sqrt 3 \)
第9題 \(\displaystyle P(n) = (-\frac{1}{7})^{n-1} \times (-\frac{1}{{14}})+\frac{1}{2},n \ge 1\)
第10題 \(\displaystyle \frac{11}{9} \)
第11題 \(-15\)
第12題 12
笫1題
\(
\begin{array}{l}
\displaystyle 原式= \frac{{{\rm{sin1}}^ \circ \times {\rm{sin2}}^ \circ \times {\rm{sin3}}^ \circ \times ... \times {\rm{sin179}}^ \circ }}{{{\rm{sin2}}^ \circ \times {\rm{sin4}}^ \circ \times ... \times {\rm{sin178}}^ \circ }} \\
\displaystyle = \frac{{{\rm{(sin1}}^ \circ \times {\rm{sin2}}^ \circ \times ... \times {\rm{sin89}}^ \circ )^2 }}{{2^{89} \times ({\rm{sin1}}^ \circ \times {\rm{sin2}}^ \circ \times ... \times {\rm{sin89}}^ \circ ) \displaystyle \times (\cos {\rm{1}}^ \circ \times \cos {\rm{2}}^ \circ \times ... \times \cos {\rm{89}}^ \circ )}} \\
\displaystyle = \frac{{\rm{1}}}{{{\rm{2}}^{{\rm{89}}} }} \\
\end{array}
\)
第6題
\(
\begin{array}{l}
\displaystyle z_1 = 48 \\
\displaystyle z_2 = 48 \times (\frac{{\sqrt 2 }}{2}) \times (\cos 30^ \circ + i\sin 30^ \circ ) \\
\displaystyle z_3 = 48 \times (\frac{{\sqrt 2 }}{2})^2 (\cos 60^ \circ + i\sin 60^ \circ ) \\
..... \\
\displaystyle z_{k + 1} = 48 \times (\frac{{\sqrt 2 }}{2})^k (\cos \frac{{k\pi }}{6} + i\sin \frac{{k\pi }}{6}) \\
由上述討論並觀察出等比數列 \displaystyle a_1 = z_1 = 48,a_2 = z_7 =48 \times (\frac{{\sqrt 2 }}{2})^6 \times ( - 1),a_3 = z_{13} = 48 \times (\frac{{\sqrt 2 }}{2})^{12} \times 1,... \\
\displaystyle \sum\limits_{k = 1}^\infty {a_k } = \frac{{48}}{{1 - \left[ { - \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^6 } \right]}} = \frac{{128}}{3} \\
\end{array}
\)
第12題 (另解 根與係數關係)
\(
\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a + b = 9 - c \\
ab = - 9c + c^2 \\
\end{array} \right. \\
實數a、b為x^2 + ( - 9 + c)x + (c^2 - 9c) = 0之根 \\
判別式D \ge 0，(- 9 + c)^2 - 4\times 1\times (c^2 - 9c) \ge 0 \\
令a + b = t, -3t^2 + 36t \ge 0可推得0 \le t \le 12 \\
故a+b最大值為12
\end{array}
\)
[[i] 本帖最後由 eyeready 於 2017-6-22 14:50 編輯 [/i]]
回復 10# eyeready 的帖子
第1題的答案是\(\displaystyle\frac{1}{{{2}^{89}}}\)吧?第6題的答案是\(\displaystyle\frac{128}{3}\)吧？
[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2017-6-22 14:13 編輯 [/i]]
回復 11# thepiano 的帖子
不愧是鋼琴大，剛剛重算一次，確實是小弟算錯了>"< 終於鼓起勇氣寫了，發現樓上討論之外的題目(填充題)都算簡單，下次要更努力才行！這裡是填充一到八題，九，十一題。
我的第四題沒有考慮到什麼條件呢？(參考下面
[[i] 本帖最後由 yustarhunter 於 2017-6-23 16:35 編輯 [/i]]
填充一.另解
x^90+1=0 的根為 cos(2+4*k)度+isin(2+4*k)度,k=0,1,2...89x^90+1=(x-(cos2度+isin2度))(x-(cos6度+isin6度)).....(x-(cos358度+isin358度))
令x=1, 兩邊取絕對值
=>2=(2sin1度)(2sin3度).......(2sin179度)
=>sin1度sin3度.....sin179度=1/(2^89)
補充比較一下...........
x^180-1=0 的根為 cos(2*k)度+isin(2*k)度,k=0,1,2...179
x^180-1=(x-1)(x^179+x^178+...+x+1)
=(x-1)(x-(cos2度+isin2度))(x-(cos4度+isin4度)).....(x-(cos358度+isin358度))
兩邊同除以(x-1) 令x=1, 兩邊取絕對值
=>180=(2sin1度)(2sin2度))(2sin3度).......(2sin179度)
=>sin1度sin2度sin3度.....sin179度=90/(2^178)
=>sin2度sin4度sin6度.....sin178度=90/(2^89)
=>(sin2度sin4度sin6度.....sin178度)/(sin1度sin3度.....sin179度)=90請注意 ! 這也是一道考題喔!
經由EXCEL驗證算出sin2度sin4度sin6度.....sin178度=1.45403*10^(-25) (=Product(C1:C89))
sin1度sin3度sin5度.....sin179度=1.61559*10^(-27) (=Product(B1:B90))
[[i] 本帖最後由 laylay 於 2017-6-22 21:40 編輯 [/i]]
回復 13# yustarhunter 的帖子
\(\begin{array}{l}
令 f(x) = x^2 - (m - 5)x + (m + 3) \\
判別式 \left[ {-(m-5)} \right]^2-4 \times 1 \times (m+3) \ge 0 \to m \ge 13 或 m \le 1 \\
對稱軸 1 < \frac{{m - 5}}{2} < 5 \to 7 < m < 15 \\
且f(1)f(5) > 0 \to m < \frac{{53}}{4} \\
\end{array}
\) 填充第2題，因為兩個三角形都分別有間隔兩個的邊長和間隔三個的邊長
所以他們的面積比就是那兩個邊長中間角度的sin值
填充第7題用斜座標快一點(其實是從高中到現在都還不會用那兩個定理.....)
第一題一開始看成是要問 \( \displaystyle sin \frac{\pi }{{180}} \times \sin \frac{{2\pi }}{{180}} \times \sin \frac{{3\pi }}{{180}} \times \cdots \times \sin \frac{{179\pi }}{{180}} \)
答案應該是\( \displaystyle \frac{{180}}{{{2^{179}}}} \) ......吧?
(啊 看到laylay老師原來已經在上面補充這題了~
[[i] 本帖最後由 BambooLotus 於 2017-6-22 21:15 編輯 [/i]]
回復 16# BambooLotus 的帖子
回覆第一題，答案正確，只要代公式就好，相對簡單許多!11.另解
(x^2-3x+s)(x^2-3x+t)=0 (前者兩實根和為3,後者兩複數根和亦為3)二次項係數=s+9+t=14 => a=-3(s+t)=-15
[[i] 本帖最後由 laylay 於 2017-6-22 23:40 編輯 [/i]] 謝謝老師們(好厲害的地方)，繼續努力。希望我堅持下去！
我沒有空閒時間可以打成代碼，只能手寫上傳，感謝各位老師指點。
PS有進步的感覺了，真好
[[i] 本帖最後由 yustarhunter 於 2017-6-23 16:36 編輯 [/i]]
回復 19# yustarhunter 的帖子
第7題 考試當下可以用特殊三角形去做，會省很多時間第6題 答案有誤
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