106華江高中
學校公佈版15.
\(x\in R\)，當\(\sqrt{x^4-15x^2-4x+68}-\sqrt{x^4-3x^2-2x+5}\)有最大值時，則\(x=\)[u] [/u]。設A(2,8),B(1,2),P(x,x^2),P在y=x^2 圖形上游走
原式=PA-PB<=AB=\(\sqrt{37}\)=MAX
此時A,B,P三點共線=>(x-1)/1=(x^2-2)/6=>x=3-\(\sqrt{5}\) (取負的,若要最小值則取正的)
14題南二中考過
已知函數\(\displaystyle y=log_2(kx^2)+\frac{3x}{4}\)的圖形與函數\(\displaystyle y=2^{|\;x|\;}+\frac{3x}{4}\)的圖形交於\(A,B\)兩點，若\(\overline{AB}=10\)，則\(k=\)[u] [/u]。又是抄襲，已經錯誤的命題，一再出現。
回復 3# son249 的帖子
我曾經對南二中提出疑義，但該校數學科教學研究會認為無誤,堅持不送分。但我的博士班指導教授兼教務長認為，二交點A，B如果非對y軸對稱，就無法算出答案。其他非對稱的兩點A,B距離仍有可能距離為10。所以我建議有參加這次考試的考生，再次向該學校提出疑義,或許可送分。回復 4# son249 的帖子
14 題，作圖，可知 \( k=4096 \) 時，與題意中的已知交於 A, B 兩點矛盾[attach]4159[/attach]
10.
\(\Delta ABC\)中，\(\overline{AB}=5\)，\(\overline{AC}=3\)，\(∠A=2∠B\)，則\(\Delta ABC\)之內切圓半徑為[u] [/u]。[解答]
做\(∠A\)之角平分線\(\overline{AD}\)交\(\overline{BC}\)於\(D\)，設\(\overline{BD}=5x,\overline{DC}=3x\)
由\(\Delta ABC \cong \Delta DAC\)，得\(\displaystyle \frac{3x}{3}=\frac{3}{8x}\Rightarrow x=\frac{\sqrt{6}}{4}\)
\(\displaystyle cosA=\frac{5^2+3^2-(2\sqrt{6})^2}{2 \times 3 \times 5}=\frac{1}{3}\Rightarrow sinA=\frac{2\sqrt{2}}{3}\)
再由\(\displaystyle \Delta =\frac{1}{2}\times 3 \times 5 \times \frac{2\sqrt{2}}{3}=rs=r \times(4+\sqrt{6})\Rightarrow r=2\sqrt{2}-3\)，其中\(\displaystyle s=\frac{5+3+2\sqrt{6}}{2}\) 第1題
恰有兩個數字相同的三位數有[u] [/u]個。
[解答]
[color=Blue] aab(加排列數) + aa0 or a0a +b00[/color]
\(
\displaystyle C_2^9 \times 2! \times \frac{{3!}}{{2!}} + C_1^9 \times 2 + 9 = 243
\)
第7題
華江熱食部餐點一共有水餃(只供應韭菜水餃)、便當(供應排骨、雞腿便當)，湯麵(供應肉羹麵、土魠魚羹麵、魷魚羹麵)三種類型，共有6種餐點。小明每天中午都在熱食部隨機選購1種餐點，而且每天選購的類型皆與前一天相異，例如：若小明周一選購湯麵類，則周二就從水餃類、便當類共三種餐點中隨機選購1種餐點。長期而言，小明選購排骨便當的機率為[u] [/u]。
[解答]
\(
\left[ {\begin{array}{*{20}c}
\displaystyle {\rm{0}} & {\frac{{\rm{1}}}{{\rm{4}}}} & {\frac{{\rm{1}}}{{\rm{3}}}} \\
\displaystyle {\frac{{\rm{2}}}{{\rm{5}}}} & {\rm{0}} & {\frac{{\rm{2}}}{{\rm{3}}}} \\
\displaystyle {\frac{{\rm{3}}}{{\rm{5}}}} & {\frac{{\rm{3}}}{{\rm{4}}}} & {\rm{0}} \\
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c}
x \\
y \\
{1 - x - y} \\
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c}
x \\
y \\
{1 - x - y} \\
\end{array}} \right]
\)
\(
\displaystyle 得y = \frac{4}{{11}}，再乘機率\frac{1}{2}即為所求
\)
[color=Red]速算法應該如何表述呢？[/color]
第8題
設\(P,Q\)為雙曲線\(\displaystyle \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{12}=1\)上的兩點，若\(F_1\)、\(F_2\)為此雙曲線的兩個焦點，\(\overline{PQ}\)過\(F_2\)為此雙曲線的一焦弦，\(∠F_2PF_1=60^{\circ}\)，則\(\Delta PQF_1\)周長為[u] [/u]。
怪怪的，算出來跟答案不一樣
第9題
\(y=f'(x)\)如下圖，\(y=f'(x)\)在\(x=3\)時有極大值，在\(x=5\)時有極小值，三個封閉區域\(A、B、C\)面積分別為7、6、4，且\(f(0)=10\)，\(f'(7)=2\)，若\(g(x)=[f(x)]^2\)，則在\(y=g(x)\)上，以\((7,g(7))\)為切點的切線方程式為[u] [/u]。
[解答]
\(
\begin{array}{l}
\displaystyle 令切線為 y - [f(7)]^2 = g'(7)(x - 7) \\
\left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle g'(7) = 2f(7)f'(7) = 4f(7) \\
\displaystyle \int\limits_0^7 {f'(x)dx = -7-6+4=-9,f(7) = 1} \\
\end{array} \right. \\
\end{array}
\)
第11題
假設\(1,2,3,4,\ldots,10^5\)這十萬個正整數中，各位數字和不大於10的正整數有\(n\)個，則\(n=\)[u] [/u]。
(例如：\(7,24,250,3211,12441,\ldots\)皆合乎題意)
[解答]
\(H_{10}^6 \) - 5 + 1[color=Blue](100000補上)[/color] - 1[color=Blue](扣掉0)[/color] = 2998
第12題
某班級一周有4節藝能課：包含2節體育課，1節音樂課，1節美術課，而排課原則如下：
(1)2節體育課不能排在同一天或相鄰的2天，
(2)1天中最多只有2節藝能課。
請問：此班級在這一周5個上課天這4節藝能課的排課分布情形一共有[u] [/u]種不同的方法﹒
(Ps：只考慮此4節藝能課從星期一到星期五的分布情形，不須考慮在每天的哪一節課。)
[解答]
(1)藝能課和體育課不能在同一天\(C_2^4 \times 3^2 = 54\)
(2)藝能課和體育課皆在同一天\(C_2^4 \times 2 = 12\)
(3)僅一節藝能課和體育課在同一天，另一節不能在同一天\(C_2^4 \times 2 \times 2 \times 3 = 72\)
第13題
\(\vec{a}\)、\(\vec{b}\)、\(\vec{c}\)、\(\vec{u}\)為空間中的四個向量。若已知\(\vec{a}\times \vec{b}=(-2,2,1)\)，\(\vec{a}\times \vec{c}=(2,1,2)\)且\(|\;\vec{a}|\;=6\)，\(\vec{u}=(1,-2,3)\)，求\(\vec{a}\)與\(\vec{u}\)所張出之平行四邊形面積為[u] [/u]。
[解答]
[color=Blue]\(\displaystyle \vec a \times \vec b 與 \vec a \times \vec c 外積後的向量平行 \vec a
\)[/color]
第14題
[color=Red]請教先進，題目敘述要怎麼修正才能符合呢？[/color]
[[i] 本帖最後由 eyeready 於 2017-6-20 13:59 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]eyeready[/i] 於 2017-6-20 12:31 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=17634&ptid=2795][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
第8題 怪怪的，算出來跟答案不一樣 [/quote]
小弟算的答案跟官方公布的一樣
回復 8# thepiano 的帖子
第8題設\(P,Q\)為雙曲線\(\displaystyle \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{12}=1\)上的兩點，若\(F_1\)、\(F_2\)為此雙曲線的兩個焦點，\(\overline{PQ}\)過\(F_2\)為此雙曲線的一焦弦，\(∠F_2PF_1=60^{\circ}\)，則\(\Delta PQF_1\)周長為[u] [/u]。
[img]https://upload.cc/i/oEJw9I.png[/img]
\(
\displaystyle 由餘弦定理得知 {\rm{(4}}\sqrt {\rm{7}} )^2 = x^2 + (8 + x)^2 - 2x(8 + x)\cos 60^ \circ ,x = 4
\)
\(
\displaystyle 再由焦半徑性質得知 \frac{1}{4} +\frac{1}{y} = \frac{4}{{\frac{{2 \times 12}}{4}}},y=\frac{{12}}{5}
\)
\(
\displaystyle 三角形周長為16+2x+2y= \frac{{144}}{5}
\)
謝謝thepiano老師幫忙檢驗！小弟把算式補上！
[[i] 本帖最後由 eyeready 於 2017-6-20 14:14 編輯 [/i]] 請教第9題的圖
是可以當作\(f'(3)=0\)及\(f'(6)=0\)嗎？還是根本沒有這些條件？
回復 10# peter0210 的帖子
小弟在算的時候沒用到您說的條件！PS:兩週年紀念日
[[i] 本帖最後由 eyeready 於 2017-6-21 17:45 編輯 [/i]] 填充9 小弟只求出f(1)的值，剩下就如eyeready大所說的
有錯誤也請指正 感謝
回復 7# eyeready 的帖子
第14題如同五樓 tsusy 老師所畫的圖，k = 4096 時有四個交點。這麼看來是題目有誤。
但如果以考試當下來看，考試時應無法確定是幾個交點，故考生會認為是題目所說交於兩點。
解交點 x 坐標時，那麼 log_2 ( k x^2 ) = 2^|x| ，而 f(x) = log_2 ( k x^2 ) - 2^|x| 為偶函數。
所以 f(x)=0 的兩個解必為 ± a 的型式。那麼就可解出 k = 4096。這或許是南二中認為無誤的原因。
另外，此題題目在「 A,B 兩點」處，可改為 「A( x_0 , y_1 ), B( -x_0 , y_2 ) 兩點」。
這樣改就沒問題了，只是說改成這樣這題就沒什好考了。
請教第4題
\(\Delta ABC\)中，\(\displaystyle cos∠BAC=\frac{4\sqrt{3}}{7}\)，\(∠B=30^{\circ}\)，\(O\)為\(\Delta ABC\)之內切圓的圓心，且直線\(AO\)交\(\overline{BC}\)於\(D\)點，則\(\displaystyle \frac{\overline{BD}}{\overline{CD}}=\)[u] [/u]。版上老師好
請問第四題,如果不用訂座標的方法硬作有什麼方法比較好計算呢?
(我是先把A定在(0,0) B(4根號3,1) ,C應做得到((49根號3)/15,0))
再利用AD,BC方程式解D((77+49根號3)/26,(115根號3-3507)/858)
但是這樣做太花時間了? BD CD更是難算 \(\overline{AO}\)是角平分線，所求為\(\displaystyle\frac{\overline{AB}}{\overline{AC}}\)，用正弦和和角公式找出邊長比就好
回復 15# BambooLotus 的帖子
謝謝BambooLotus老師的回覆! 了解了回復 1# dedekind 的帖子
第1題我覺得用扣減的，思考上會比較簡單喔！全部=999-100+1=900
三個數字都不同=9*8*9=648
1XX→9*8=72種，2XX→9*8=72種，......，9XX→9*8=72種
三個數字都相同=9
111, 222,....,999
所求=全部 - 三個數字都不同 - 三個數字都相同=243
請教第13題
\(\vec{a}\)、\(\vec{b}\)、\(\vec{c}\)、\(\vec{u}\)為空間中的四個向量。若已知\(\vec{a}\times \vec{b}=(-2,2,1)\)，\(\vec{a}\times \vec{c}=(2,1,2)\)且\(|\;\vec{a}|\;=6\)，\(\vec{u}=(1,-2,3)\)，求\(\vec{a}\)與\(\vec{u}\)所張出之平行四邊形面積為[u] [/u]。版上老師好
第13題(-2,2,1)x(2,1,2)=(2,6,-6),接著令a向量=(a,3a,-3a)
由a向量長度是6,計算出a^2=36/19
則平行四邊形=( (a長度^2)(u長度^2)-(a向量內積u向量)^2 )^(0.5)=(504-196a^2)^(0.5)=(2520/19)^0.5
不知道哪一步,作錯了得不到答案6根號5
回復 18# anyway13 的帖子
叉積( 2, 6, -6 ) 算錯了,應該是 ( 3, 6, -6 )令 a向量 = ( k, 2k , -2k ) , 由a向量長度6得 k = ± 2
兩個k值答案皆同,因此取k = 2, 則 a向量 = ( 2, 4 , -4 )
所求 = ｜( 2, 4 , -4 ) x ( 1, -2 , 3 )｜=｜( 4, -10 , -8 )｜= 6√5
回復 19# Lopez 的帖子
謝謝Lopez老師,知道做錯的地方了頁:
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