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所謂「信心」,
是無論景氣再壞,都要相信自己有能力。

bugmens 發表於 2017-6-15 19:21

106松山工農

 

litlesweetx 發表於 2017-6-15 19:55

請問4,13,15
謝謝

thepiano 發表於 2017-6-15 20:22

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第 4 題
設\(a,b,c\)為正實數,求\( \displaystyle \frac{2b-2c}{a+b+2c}+\frac{2a+4c}{a+2b+c}+\frac{b}{a+b+c} \)的最小值[u]   [/u]?
[解答]
令 x = a + b + 2c,y = a + 2b + c,z = a + b + c
則 a = - x - y + 3z,b = y - z,c = x - z
把原式的 a、b、c 取代為 x、y、z,再用算幾

111.4.23補充
出自建中通訊解題第61期
其他相關問題[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1569&page=5#pid14278[/url]

第 13 題
設\(x_1<x_2<x_3\)為方程式\(\sqrt{2014}x^3-4029x^2+2=0\)的三個實數根,試求\(x_2(x_1+x_3)\)之值[u]   [/u]。
2014 AIME[url]https://math.pro/db/thread-1794-1-1.html[/url]

laylay 發表於 2017-6-15 23:24

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15.
在\(\Delta ABC\)中,\( \overline{AB}=6,\overline{BC}=4,\overline{CA}=5 \),圓\(O_1,O_2,O_3\)為\(\Delta ABC\)的三個旁切圓,圓\(O_1\)和\(\overline{BC}\)相切於\(D\),圓\(O_2\)和\(\overline{CA}\)相切於\(E\),圓\(O_3\)和\(\overline{AB}\)相切於\(F\)。試求\( \displaystyle \frac{\Delta DEF面積}{\Delta ABC面積}= \)[u]   [/u]?
[解答]
r3(tan(A/2)+(tan(B/2))=c
AEF=1/2*(r3tan(A/2))(r2tan(A/2))*sinA
       =1/2*c/(1+tan(B/2)/tan(A/2))*b/(1+tan(C/2)/tan(A/2))*sinA
ABC=1/2*bc*sinA , tan(A/2)=\(\sqrt{(s-b)(s-c)/(s(s-a))}\)
AEF/ABC=1/{[1+(s-a)/s-b)][1+(s-a)/(s-c)]}=(s-b)(s-c)/(cb)=a(s-b)(s-c)/(abc)
或者 AF=r3*tan(A/2)=ABC/(s-c)*\(\sqrt{(s-b)(s-c)/(s(s-a))}\)
                             =\(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)/(s-c)*\(\sqrt{(s-b)(s-c)/(s(s-a))}\)=s-b
同理AE=s-c
AEF/ABC=(s-b)(s-c)/(cb)=a(s-b)(s-c)/(abc)
a=4,b=5,c=6,s-a=7/2,s-b=5/2,s-c=3/2
所求=1-(4*5/2*3/2+5*7/2*3/2+6*7/2*5/2)/(4*5*6)=7/32

13.
設\(x_1<x_2<x_3\)為方程式\(\sqrt{2014}x^3-4029x^2+2=0\)的三個實數根,試求\(x_2(x_1+x_3)\)之值[u]   [/u]。
[解答]
f(-1)<0,f(0)>0,f(1)<0,f(1000000)>0 =>-1<x1<0<x2<1<x3
令t=\(\sqrt{2014}\) ,
則 tx^3-(2t^2+1)x^2+2=0 => (-2x^2)t^2+(x^3)t+(-x^2+2)=0
=> ((x)t-1)((-2x)t+(x^2-2))=0 => x=1/t=x2 or x^2-2xt-2=0 =>x1x3=-2
x1x2+x1x3+x2x3=0 => 所求=-x1x3=2

小姑姑 發表於 2017-6-16 09:50

請教鋼琴老師,第4題的詳解,謝謝。

tsusy 發表於 2017-6-16 13:25

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來個 15 另解.
利用圓外一點到圓的兩切線段等長

設 \( \overline{AF} =x, \overline{BF} = y \)

則 \( x+y = c \) ( \(a,b,c \) 為角 A, B, C 的對邊長)
    \( x+ b = x + \) (C 到圓 \( O_3 \) 的切線段長) \( = y +a \)

兩式解聯立得 \( x = s -b,  y = s-a \),其中  \( s = \frac{a+b+c}{2} \)

同理得 \( \overline{AE}, \overline{CE}, \overline{BD}, \overline{CD} \)

六線段長為 \( \overline{AF} = s-b = \frac52, \overline{AE} = s-c = \frac32\)
                   \( \overline{BF} = s-a = \frac72, \overline{BD} = s-c = \frac32\)
                   \( \overline{CE} = s-a = \frac72, \overline{CD} = s-b = \frac52\)

所求  \( \frac{\triangle DEF}{\triangle ABC}=\frac{\triangle AEF+\triangle BFD+\triangle CDE}{\triangle ABC}=1-\left(\frac{3}{10}\cdot\frac{5}{12}+\frac{7}{12}\cdot\frac{3}{8}+\frac{7}{10}\cdot\frac{5}{8}\right)=\frac{7}{32} \)

gamaisme 發表於 2017-6-16 14:24

回復 5# 小姑姑 的帖子

令 x = a + b + 2c,y = a + 2b + c,z = a + b + c
則 a = - x - y + 3z,b = y - z,c = x - z
把原式的 a、b、c 取代為 x、y、z,再用算幾

2*(Y-X)/X+2*(X-Y-Z)/Y+(Y-Z)/Z
其中
2*(Y-X)/X=-2+2*Y/X
2*(X-Y-Z)/Y=2*X/Y-2+2*Z/Y
(Y-Z)/Z=Y/Z-1
再算幾即可

peter0210 發表於 2017-6-18 09:29

請教第12題 感謝

gamaisme 發表於 2017-6-18 09:57

回復 8# peter0210 的帖子

12.
坐標平面上的橢圓\(\Gamma\):\(\displaystyle \frac{(x-8)^2}{121}+\frac{(y-15)^2}{100}=1\)上有[u]   [/u]個點與原點的距離正好是整數值?
[解答]
依照題目設定
長軸一半a為11
短軸一半b為10
此設定造成橢圓上的點與橢圓中心點的距離皆在10~11之間
中心點在(8,15),表示中心點與O距離為17
推得橢圓上的每一個點與O的距離皆在6~28之間
所以有21個點離O為整數點
21*2=42(因為橢圓中心點與O連線,橢圓被切一半有兩邊要算)

小姑姑 發表於 2017-6-18 12:09

附上我自行計算的答案,不知是否正確?

我的筆試成績不高,這兩日重新計算出來的答案,如附件!
請有計算的大大們可以跟我校對,
最後,
我想請教兩題的做法,填充3、12,感激感恩。

更新答案1060618

thepiano 發表於 2017-6-18 15:25

回復 10# 小姑姑 的帖子

填充第 3 題
分成三種情況
(1) 甲抽中紅,乙抽中紅,機率\(\displaystyle=\frac{4}{15}\times \frac{3}{14}\)
(2) 甲抽中紅,乙抽中白、紅,機率\(\displaystyle=\frac{4}{15}\times \frac{1}{14}\times \frac{3}{13}\)

(3) 甲抽中白、紅,乙抽中紅,機率\(\displaystyle=\frac{1}{15}\times \frac{4}{14}\times \frac{3}{13}\)
加總後是\(\displaystyle\frac{6}{91}\)

另外,小弟有算第 2 題,答案應是 5
第 12 題上面已有 gamaisme 老師的妙解,答案是 42

[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2017-6-18 15:31 編輯 [/i]]

cefepime 發表於 2017-6-18 16:49

[size=3]填充題 3. 另解:[/size]
[size=3][/size]
[size=3]直接把白球丟掉,剩 4 紅 10 黃。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]所求 = (4/14)*(3/13) = 6/91[/size]

thepiano 發表於 2017-6-18 18:52

回復 12# 小姑姑 的帖子

除以10餘7的數,除以11不一定餘6

laylay 發表於 2017-6-18 19:55

回復 12# 小姑姑 的帖子

2.
若\(n=2017^{2017}\),則\(n\)除以11的餘數為[u]   [/u]?
[解答]
底數2017除以11 餘4 ,4^5=1024除以11 餘1  (因為(4+0)-(2+1)=1,又 2^10=1024大家很熟吧 !
或者由尤拉定理馬上可以知道2^10除以11 餘1)
指數2017除以5 餘2 ,
4^2=16除以11 餘 5.....為所求

laylay 發表於 2017-6-18 20:19

5.

在右圖的正立方體上有三質點分別自頂點\(A,C,E\)同時出發,各自以等速直線運動分別向頂點\(B,D,F\)前進,且在1秒後分別同時到達\(B,D,F\)。則三質點運動時所構成的三角形其最小面積為[u]   [/u]?
[解答]
設運動了t秒,則此正三角形面積=\(\sqrt{3}\)/4*(1^2+t^2+(1-t)^2)AB^2......(長方體對角線長的平方)
=\(\sqrt{3}\)/2*[(t-1/2)^2+3/4]>=3/8*\(\sqrt{3}\)AB^2......為所求

martinofncku 發表於 2017-6-18 20:34

想請問 填充 1, 9

thepiano 發表於 2017-6-18 20:58

回復 17# martinofncku 的帖子

填充第1題
設\(a,b\)為實數,\(f(x)\)為5次實係數多項式且其最高次項係數為\(a\)。若\(f(x)\)滿足\( \displaystyle \int_b^x f(t)dt=\frac{1}{2}(x^2+6x+10)^3-\frac{1}{2} \),則數對\((a,b)=\)[u]   [/u]?
104數甲

填充第9題
若直線\(y=x\)與曲線\(y=x^3-3x^2+ax\)相切,試求\(a=\)[u]   [/u]?
[解答]
設切點坐標為\(\left( t,t \right)\)

\(\displaystyle\begin{align}
  & {{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+at=t \\
& y'\left( t \right)=3{{t}^{2}}-6t+a=1 \\
& \left( 1 \right)t=0,a=1 \\
& \left( 2 \right)t\ne 0,{{t}^{2}}-3t+a=1 \\
& 3{{t}^{2}}-6t={{t}^{2}}-3t \\
& t=\frac{3}{2},a=\frac{13}{4} \\
\end{align}\)

laylay 發表於 2017-6-18 21:11

回復 18# thepiano 的帖子

我這邊看到您的過程會重疊在一起,看不清楚,不知別人會如此嗎?

小姑姑 發表於 2017-6-18 21:19

回復 14# thepiano 的帖子

一語道破,謝謝您。

thepiano 發表於 2017-6-18 21:27

回復 10# 小姑姑 的帖子

問答第 4 題
答案應是 435

整份題目的答案請重打一次,造福後人

頁: [1] 2

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