106松山工農
請問4,13,15謝謝
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第 4 題設\(a,b,c\)為正實數，求\( \displaystyle \frac{2b-2c}{a+b+2c}+\frac{2a+4c}{a+2b+c}+\frac{b}{a+b+c} \)的最小值[u] [/u]？
[解答]
令 x = a + b + 2c，y = a + 2b + c，z = a + b + c
則 a = - x - y + 3z，b = y - z，c = x - z
把原式的 a、b、c 取代為 x、y、z，再用算幾
111.4.23補充
出自建中通訊解題第61期
其他相關問題[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1569&page=5#pid14278[/url]
第 13 題
設\(x_1<x_2<x_3\)為方程式\(\sqrt{2014}x^3-4029x^2+2=0\)的三個實數根，試求\(x_2(x_1+x_3)\)之值[u] [/u]。
2014 AIME[url]https://math.pro/db/thread-1794-1-1.html[/url]
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15.在\(\Delta ABC\)中，\( \overline{AB}=6,\overline{BC}=4,\overline{CA}=5 \)，圓\(O_1,O_2,O_3\)為\(\Delta ABC\)的三個旁切圓，圓\(O_1\)和\(\overline{BC}\)相切於\(D\)，圓\(O_2\)和\(\overline{CA}\)相切於\(E\)，圓\(O_3\)和\(\overline{AB}\)相切於\(F\)。試求\( \displaystyle \frac{\Delta DEF面積}{\Delta ABC面積}= \)[u] [/u]？
[解答]
r3(tan(A/2)+(tan(B/2))=c
AEF=1/2*(r3tan(A/2))(r2tan(A/2))*sinA
=1/2*c/(1+tan(B/2)/tan(A/2))*b/(1+tan(C/2)/tan(A/2))*sinA
ABC=1/2*bc*sinA , tan(A/2)=\(\sqrt{(s-b)(s-c)/(s(s-a))}\)
AEF/ABC=1/{[1+(s-a)/s-b)][1+(s-a)/(s-c)]}=(s-b)(s-c)/(cb)=a(s-b)(s-c)/(abc)
或者 AF=r3*tan(A/2)=ABC/(s-c)*\(\sqrt{(s-b)(s-c)/(s(s-a))}\)
=\(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)/(s-c)*\(\sqrt{(s-b)(s-c)/(s(s-a))}\)=s-b
同理AE=s-c
AEF/ABC=(s-b)(s-c)/(cb)=a(s-b)(s-c)/(abc)
a=4,b=5,c=6,s-a=7/2,s-b=5/2,s-c=3/2
所求=1-(4*5/2*3/2+5*7/2*3/2+6*7/2*5/2)/(4*5*6)=7/32
13.
設\(x_1<x_2<x_3\)為方程式\(\sqrt{2014}x^3-4029x^2+2=0\)的三個實數根，試求\(x_2(x_1+x_3)\)之值[u] [/u]。
[解答]
f(-1)<0,f(0)>0,f(1)<0,f(1000000)>0 =>-1<x1<0<x2<1<x3
令t=\(\sqrt{2014}\) ,
則 tx^3-(2t^2+1)x^2+2=0 => (-2x^2)t^2+(x^3)t+(-x^2+2)=0
=> ((x)t-1)((-2x)t+(x^2-2))=0 => x=1/t=x2 or x^2-2xt-2=0 =>x1x3=-2
x1x2+x1x3+x2x3=0 => 所求=-x1x3=2 請教鋼琴老師，第4題的詳解，謝謝。
回復 2# litlesweetx 的帖子
來個 15 另解.利用圓外一點到圓的兩切線段等長
設 \( \overline{AF} =x, \overline{BF} = y \)
則 \( x+y = c \) ( \(a,b,c \) 為角 A, B, C 的對邊長)
\( x+ b = x + \) (C 到圓 \( O_3 \) 的切線段長) \( = y +a \)
兩式解聯立得 \( x = s -b, y = s-a \)，其中 \( s = \frac{a+b+c}{2} \)
同理得 \( \overline{AE}, \overline{CE}, \overline{BD}, \overline{CD} \)
六線段長為 \( \overline{AF} = s-b = \frac52, \overline{AE} = s-c = \frac32\)
\( \overline{BF} = s-a = \frac72, \overline{BD} = s-c = \frac32\)
\( \overline{CE} = s-a = \frac72, \overline{CD} = s-b = \frac52\)
所求 \( \frac{\triangle DEF}{\triangle ABC}=\frac{\triangle AEF+\triangle BFD+\triangle CDE}{\triangle ABC}=1-\left(\frac{3}{10}\cdot\frac{5}{12}+\frac{7}{12}\cdot\frac{3}{8}+\frac{7}{10}\cdot\frac{5}{8}\right)=\frac{7}{32} \)
回復 5# 小姑姑 的帖子
令 x = a + b + 2c，y = a + 2b + c，z = a + b + c則 a = - x - y + 3z，b = y - z，c = x - z
把原式的 a、b、c 取代為 x、y、z，再用算幾
即
2*(Y-X)/X+2*(X-Y-Z)/Y+(Y-Z)/Z
其中
2*(Y-X)/X=-2+2*Y/X
2*(X-Y-Z)/Y=2*X/Y-2+2*Z/Y
(Y-Z)/Z=Y/Z-1
再算幾即可 請教第12題 感謝
回復 8# peter0210 的帖子
12.坐標平面上的橢圓\(\Gamma\)：\(\displaystyle \frac{(x-8)^2}{121}+\frac{(y-15)^2}{100}=1\)上有[u] [/u]個點與原點的距離正好是整數值？
[解答]
依照題目設定
長軸一半a為11
短軸一半b為10
此設定造成橢圓上的點與橢圓中心點的距離皆在10~11之間
中心點在(8,15)，表示中心點與O距離為17
推得橢圓上的每一個點與O的距離皆在6~28之間
所以有21個點離O為整數點
21*2=42(因為橢圓中心點與O連線，橢圓被切一半有兩邊要算)
附上我自行計算的答案，不知是否正確？
我的筆試成績不高，這兩日重新計算出來的答案，如附件！請有計算的大大們可以跟我校對，
最後，
我想請教兩題的做法，填充3、12，感激感恩。
更新答案1060618
回復 10# 小姑姑 的帖子
填充第 3 題假設袋中有15顆球，其中4顆紅球、1顆白球、10顆黃球。規定一次只能抽一球且不放回去，現在依甲先乙後的順序分別抽球一次，但當抽到的球是白球時，則須馬上再補抽一球。問甲有抽中紅球且乙也有抽中紅球的機率為[u] [/u]。
[解答]
分成三種情況
(1) 甲抽中紅，乙抽中紅，機率\(\displaystyle=\frac{4}{15}\times \frac{3}{14}\)
(2) 甲抽中紅，乙抽中白、紅，機率\(\displaystyle=\frac{4}{15}\times \frac{1}{14}\times \frac{3}{13}\)
(3) 甲抽中白、紅，乙抽中紅，機率\(\displaystyle=\frac{1}{15}\times \frac{4}{14}\times \frac{3}{13}\)
加總後是\(\displaystyle\frac{6}{91}\)
113.5.8補充
假設袋中有15顆球，其中4顆紅球、1顆白球、10顆黃球。規定一次只能抽一球且不放回去，現在依甲先乙後的順序分別抽球一次，但當抽到的球是白球時，則須馬上再補抽一球。問甲有抽中紅球且乙也有抽中紅球的機率為[u] [/u]。
(113台北市立陽明高中，[url]https://math.pro/db/thread-3864-1-1.html[/url])
另外，小弟有算第 2 題，答案應是 5
第 12 題上面已有 gamaisme 老師的妙解，答案是 42 [size=3]填充題 3. 另解:[/size]
[size=3][/size]
[size=3]直接把白球丟掉，剩 4 紅 10 黃。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]所求 = (4/14)*(3/13) = 6/91[/size]
回復 12# 小姑姑 的帖子
除以10餘7的數，除以11不一定餘6回復 12# 小姑姑 的帖子
2.若\(n=2017^{2017}\)，則\(n\)除以11的餘數為[u] [/u]？
[解答]
底數2017除以11 餘4 ,4^5=1024除以11 餘1 (因為(4+0)-(2+1)=1,又 2^10=1024大家很熟吧 !
或者由尤拉定理馬上可以知道2^10除以11 餘1)
指數2017除以5 餘2 ,
4^2=16除以11 餘 5.....為所求
5.
在右圖的正立方體上有三質點分別自頂點\(A,C,E\)同時出發，各自以等速直線運動分別向頂點\(B,D,F\)前進，且在1秒後分別同時到達\(B,D,F\)。則三質點運動時所構成的三角形其最小面積為[u] [/u]？[解答]
設運動了t秒,則此正三角形面積=\(\sqrt{3}\)/4*(1^2+t^2+(1-t)^2)AB^2......(長方體對角線長的平方)
=\(\sqrt{3}\)/2*[(t-1/2)^2+3/4]>=3/8*\(\sqrt{3}\)AB^2......為所求 想請問 填充 1, 9
回復 17# martinofncku 的帖子
填充第1題設\(a,b\)為實數，\(f(x)\)為5次實係數多項式且其最高次項係數為\(a\)。若\(f(x)\)滿足\( \displaystyle \int_b^x f(t)dt=\frac{1}{2}(x^2+6x+10)^3-\frac{1}{2} \)，則數對\((a,b)=\)[u] [/u]？
104數甲
填充第9題
若直線\(y=x\)與曲線\(y=x^3-3x^2+ax\)相切，試求\(a=\)[u] [/u]？
[解答]
設切點坐標為\(\left( t,t \right)\)
\(\displaystyle\begin{align}
& {{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+at=t \\
& y'\left( t \right)=3{{t}^{2}}-6t+a=1 \\
& \left( 1 \right)t=0,a=1 \\
& \left( 2 \right)t\ne 0,{{t}^{2}}-3t+a=1 \\
& 3{{t}^{2}}-6t={{t}^{2}}-3t \\
& t=\frac{3}{2},a=\frac{13}{4} \\
\end{align}\)
回復 18# thepiano 的帖子
我這邊看到您的過程會重疊在一起,看不清楚,不知別人會如此嗎?回復 14# thepiano 的帖子
一語道破，謝謝您。回復 10# 小姑姑 的帖子
問答第 4 題答案應是 435
整份題目的答案請重打一次，造福後人
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