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weni 發表於 2017-6-5 19:57

106新竹高商

初試最低錄取分數57。

litlesweetx 發表於 2017-6-5 23:23

想問填7,填15,計1
謝謝

thepiano 發表於 2017-6-6 07:58

回復 2# litlesweetx 的帖子

填充第 7 題
在\(1、2、3、\ldots、2017\)中取一組數,使任意兩數的和不能被其差整除,則最多能取[u]   [/u]個數。
[解答]
取除以 3 餘 1 的數
所求 = [2017/3] + 1 = 673


填充第 15 題
將四位數1746(原數)左右倒過來寫得6471(新數),新數比原數大4725。試問:滿足新數比原數大4725的所有四位數的原數有[u]   [/u]個。
[解答]
原數 1000a + 100b + 10c + d,新數 1000d + 100c + 10b + a
(1000d + 100c + 10b + a) - (1000a + 100b + 10c + d) = 4725
111(d - a) + 10(c - b) = 525
易知 d - a = 5,b - c = 3
d 有 6 ~ 9 這 4 種情形,b 有 3 ~ 9 這 7 種情形
所求 = 4 * 7 = 28

laylay 發表於 2017-6-6 11:09

計1.補充

由答案看來,(0,0),(12c,4\( \sqrt{3} \)c),(12c,-4\( \sqrt{3} \)c),之重心(8c,0)為頂點,
原圖形向右平移8c,再上下壓縮1/3,即得所求圖形
此題若為填充題,這樣猜答案也滿合理的
此題若改為橢圓,是否仿上法得四頂點的橢圓也為所求圖形呢?
此題若改為左右型雙曲線,是否仿上法得兩頂點的雙曲線,再上下壓縮1/3也為所求圖形呢?

[[i] 本帖最後由 laylay 於 2017-6-6 12:24 編輯 [/i]]

eyeready 發表於 2017-6-6 12:01

填充4
已知\(m\)、\(n\)為正整數且\(m^2<7n^2\),求\(7n^2-m^2\)的最小值[u]   [/u]。
[解答]
應該還有其它更適當的解釋方法!
\(
\begin{array}{l}
因為7n^2  - m^2  > 0 \\
取m=n-2,7n^2  - (n - 2)^2  = 6n^2  + 4n + 4 \ge 14 \\
取m=n-1,7n^2  - (n - 1)^2  = 6n^2  + 2n - 1 \ge 7 \\
取m=n ,7n^2  - n^2  = 6n^2  \ge 6 \\
取m=n+1 ,7n^2  - (n + 1)^2  = 6n^2  - 2n - 1 \ge 3 \\
取m=n+2,7n^2  - (n + 2)^2  = 6n^2  - 4n - 4 \ge 12 \\
....
\end{array}
\)

填充6
請問滿足\(\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{6^6}\)的正整數解共有[u]   [/u]組。
[解答]
\(
H_{12}^2  \times H_{12}^2  = 169
\)

填充10
今有16枝相同的筆要全部分給\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)四人,每人至少分得一枝,若僅考慮四人所獲得筆的數量,則共有[u]   [/u]種分筆的方式使得\(A\)獲得的數量大於\(B\)獲得的數量。
[解答]
\(
\displaystyle \frac{{H_{12}^4  - (H_0^2  + H_2^2  + ... + H_{12}^2 )}}{{\rm{2}}} = 203
\)

填充13
圓\(C\)的圓心為\((a,1)\),且半徑為1,作圓\(C\)的兩條切線\(L_1\)、\(L_2\),已知\(L_1⊥L_2\),且\(L_1\)、\(L_2\)和\(x\)軸的交點分別為\((-2,0)\)、\((2,0)\),求\(a\)的值為[u]   [/u]。
[解答]
[url]https://math.pro/db/thread-2632-1-1.html[/url]

填充14
設\(a\)、\(b\)、\(c\)為正實數,且\(a+b+c=1\),求\(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\)之最小值為[u]   [/u]。
[解答]
\(
\begin{array}{l}
\displaystyle  \sqrt {a^2  + b^2 }  + \sqrt {b^2  + c^2 }  + \sqrt {c^2  + a^2 }  \\
\displaystyle  \ge 3 \times \sqrt[3]{{\sqrt {a^2  + b^2 }  \times \sqrt {b^2  + c^2 }  \times \sqrt {c^2  + a^2 } }} \\
\displaystyle  \ge 3 \times \sqrt[3]{{\sqrt {2ab}  \times \sqrt {2bc}  \times \sqrt {2ca} }} = 3\sqrt 2  \times \sqrt[3]{{abc}} \\
又\displaystyle a + b + c \ge 3 \times \sqrt[3]{{abc}} \\
兩式相除即最小值為\sqrt 2,等號成立於a=b=c=1/3
\end{array}
\)

填充16
對於每一正整數\(n\),\(f(n)+f(n+3)=n^2\)恆成立,若\(f(93)=93\),求\(f(30)=\)[u]   [/u]。
[解答]
\(
\begin{array}{l}
f(93) + f(30) = 90^2  - 87^2  + 84^2  - 81^2  + ... - 33^2  + 30^2  = 4590 \\
f(30) = 4497 \\
\end{array}
\)

填充18
已知\(2x+y+2=0\),試求\(\displaystyle log_2 \frac{y}{x^2}\)的最大值為[u]   [/u]。
[解答]
\(
\left\{ \begin{array}{l}
令 y = ax^2  \\
2x + y + 2 = 0 \\
\end{array} \right.
當相切時有最大值,此時a=1/2
\)
[img]https://upload.cc/i/kU6X0p.png[/img]

小姑姑 發表於 2017-6-6 12:28

填充6的答案是否公布有誤

請教各位,填充6是仿全國的題型,
可是公布答案是49,是否有誤?
謝謝。

thepiano 發表於 2017-6-6 13:22

回復 6# 小姑姑 的帖子

應是 169 才是

eyeready 發表於 2017-6-6 15:42

回復 3# thepiano 的帖子

小弟不才,想請教thepiano大大第七題的解題構思是如何引入的呢?

thepiano 發表於 2017-6-6 16:00

回復 8# eyeready 的帖子

eyeready 大大客氣了

由於要取最多的數,任兩數之間的差越小越好
差 1 不合題意,差 2 的話,任兩數之和是偶數,也不合題意
所以就差 3

都取除以 3 餘 1 的數,任兩數之和除以 3 餘 2,任兩數之差是 3 的倍數,符合題意

thepiano 發表於 2017-6-6 16:09

回復 6# 小姑姑 的帖子

官方公布更改後填充第 6 題的答案為 169
[url]http://www.hccvs.hc.edu.tw[/url]

eyeready 發表於 2017-6-6 16:44

回復 9# thepiano 的帖子

感謝thepiano老師長期的熱心回覆並分享解法,小弟受到許多的幫助!感恩~~

JOE 發表於 2017-6-6 19:05

回復 5# eyeready 的帖子

抱歉,我想請教填充14的第一行是如何整理得來

另外想請教填充4的做法,感謝指導

eyeready 發表於 2017-6-6 19:45

回復 12# JOE 的帖子

已編輯!

cefepime 發表於 2017-6-7 01:45

[size=3][b]填充題 4. 已知 m,n 為正整數且 m² < 7n²,求 7n² - m² 的最小值為 ?[/b][/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
[size=3]另解: 題意即考慮不定方程  7n² - m² = k,k 的情形。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]基於左式有係數 7,分析以 7 為模的餘數是合理的。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]m² ≡ 0,1,4,2  (mod 7)[/size]
[size=3][/size]
[size=3]⇒ 7n² - m² ≡ 0,6,3,5  (mod 7)[/size]
[size=3][/size]
[size=3]題目求最小值,故從最小的候選者依序考慮。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]先試 k = 3,對應的 m ≡ ±2  (mod 7),故再試 m = 2,得 n = 1。 ^_^ [/size][size=3]!  (m = 5,n = 2 亦可[/size][size=3])[/size]
[size=3][/size]
[size=3]所求最小值 = [color=red]3[/color]。[/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]

[size=3][b]填充題 14. 設 a, b, c 為正實數,且 a + b + c = 1,求 √(a²+b²) + √(b²+c²) + √(c²+a²) 之最小值為 ?[/b][/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
[size=3]解 1: 由冪平均不等式,有[/size]
[size=3][/size]
[size=3]√ [ (a²+b²) /2 ] ≥ (a+b) /2[/size]
[size=3][/size]
[size=3]√ [ (b²+c²) /2 ] ≥ (b+c) /2[/size]
[size=3][/size]
[size=3]√ [ (c²+a²) /2 ] ≥ (c+a) /2[/size]
[size=3][/size]
[size=3]三式相加並移項,得 √(a²+b²) + √(b²+c²) + √(c²+a²) ≥ [color=red]√2 [/color]( 當 a = b = c 時取等號 )[/size]
110.1.30補充
我的教甄準備之路 a+b=1求極值,[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1079[/url]

[size=3]解 2: 由柯西不等式: (a²+b²)*(1²+1²) ≥ (a+b)²,其餘類推,則與上法殊途同歸。[/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
[size=3]解 3: 由三角不等式: √(a²+b²) + √(b²+c²) + √(c²+a²) ≥ √ [(a+b)² + (b+c)²] + √(c²+a²) ≥ √ [(a+b+c)² + (b+c+a)²] = [color=black][color=red]√2[/color] ( 當 a = b = c 時取等號 )[/color][/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
[size=3]解 4: 數形結合[/size]
[size=3][/size]
[size=3]令向量 u = (a, b),v = (b, c), w = (c, a),則向量和 u + v + w = (1, 1)[/size]
[size=3][/size]
[size=3]所求即 |u| + |v| + |w| ≥ | u+v+w | = [color=red]√2[/color]   ( 當 a = b = c 時取等號 )[/size]
[size=3][/size]
[size=3](不用向量的話,亦可畫個邊長為 1 的正方形說明)[/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
[size=3]註: 由上列若干方法知,題目設 a, b, c 為 "實數" 即可 (不需為正)[/size]

JOE 發表於 2017-6-7 09:53

回復 13# eyeready 的帖子

感謝 eyeready 老師與 cefepime老師 的指導

讓我獲益良多

JOE 發表於 2017-6-7 09:55

回復 4# laylay 的帖子

請問這個問題有計算題適用的解法嗎,感謝指導

thepiano 發表於 2017-6-7 12:59

回復 2# litlesweetx 的帖子

計算第 1 題
請參考 [url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/download/file.php?id=2778[/url]

thepiano 發表於 2017-6-7 12:59

回復 1# weni 的帖子

初試最低錄取分數變成 60 分

satsuki931000 發表於 2019-1-22 18:45

想請問第九 第18題

weiye 發表於 2019-1-22 21:30

回復 19# satsuki931000 的帖子

9.
設實數\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)滿足\(a^2+b^2=4\)和\((c-5)^2+(d-12)^2=36\),試求\(ad-bc\)的最大值為[u]   [/u]。
[attach]4780[/attach]
[attach]4781[/attach]
[attach]4782[/attach]
18.
已知\(2x+y+2=0\),試求\(\displaystyle log_2 \frac{y}{x^2}\)的最大值為[u]   [/u]。
[attach]4783[/attach]

頁: [1]

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