106新竹高商
初試最低錄取分數57。 想問填7,填15,計1謝謝
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填充第 7 題在\(1、2、3、\ldots、2017\)中取一組數，使任意兩數的和不能被其差整除，則最多能取[u] [/u]個數。
[解答]
取除以 3 餘 1 的數
所求 = [2017/3] + 1 = 673
填充第 15 題
將四位數1746(原數)左右倒過來寫得6471(新數)，新數比原數大4725。試問：滿足新數比原數大4725的所有四位數的原數有[u] [/u]個。
[解答]
原數 1000a + 100b + 10c + d，新數 1000d + 100c + 10b + a
(1000d + 100c + 10b + a) - (1000a + 100b + 10c + d) = 4725
111(d - a) + 10(c - b) = 525
易知 d - a = 5，b - c = 3
d 有 6 ~ 9 這 4 種情形，b 有 3 ~ 9 這 7 種情形
所求 = 4 * 7 = 28
計1.補充
由答案看來,(0,0),(12c,4\( \sqrt{3} \)c),(12c,-4\( \sqrt{3} \)c),之重心(8c,0)為頂點,原圖形向右平移8c,再上下壓縮1/3,即得所求圖形
此題若為填充題,這樣猜答案也滿合理的
此題若改為橢圓,是否仿上法得四頂點的橢圓也為所求圖形呢?
此題若改為左右型雙曲線,是否仿上法得兩頂點的雙曲線,再上下壓縮1/3也為所求圖形呢? 填充4
已知\(m\)、\(n\)為正整數且\(m^2<7n^2\)，求\(7n^2-m^2\)的最小值[u] [/u]。
[解答]
應該還有其它更適當的解釋方法！
\(
\begin{array}{l}
因為7n^2 - m^2 > 0 \\
取m=n-2，7n^2 - (n - 2)^2 = 6n^2 + 4n + 4 \ge 14 \\
取m=n-1，7n^2 - (n - 1)^2 = 6n^2 + 2n - 1 \ge 7 \\
取m=n ，7n^2 - n^2 = 6n^2 \ge 6 \\
取m=n+1 ，7n^2 - (n + 1)^2 = 6n^2 - 2n - 1 \ge 3 \\
取m=n+2，7n^2 - (n + 2)^2 = 6n^2 - 4n - 4 \ge 12 \\
....
\end{array}
\)
填充6
請問滿足\(\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{6^6}\)的正整數解共有[u] [/u]組。
[解答]
\(
H_{12}^2 \times H_{12}^2 = 169
\)
填充10
今有16枝相同的筆要全部分給\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)四人，每人至少分得一枝，若僅考慮四人所獲得筆的數量，則共有[u] [/u]種分筆的方式使得\(A\)獲得的數量大於\(B\)獲得的數量。
[解答]
\(
\displaystyle \frac{{H_{12}^4 - (H_0^2 + H_2^2 + ... + H_{12}^2 )}}{{\rm{2}}} = 203
\)
填充13
圓\(C\)的圓心為\((a,1)\)，且半徑為1，作圓\(C\)的兩條切線\(L_1\)、\(L_2\)，已知\(L_1⊥L_2\)，且\(L_1\)、\(L_2\)和\(x\)軸的交點分別為\((-2,0)\)、\((2,0)\)，求\(a\)的值為[u] [/u]。
[解答]
[url]https://math.pro/db/thread-2632-1-1.html[/url]
填充14
設\(a\)、\(b\)、\(c\)為正實數，且\(a+b+c=1\)，求\(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\)之最小值為[u] [/u]。
[解答]
\(
\begin{array}{l}
\displaystyle \sqrt {a^2 + b^2 } + \sqrt {b^2 + c^2 } + \sqrt {c^2 + a^2 } \\
\displaystyle \ge 3 \times \sqrt[3]{{\sqrt {a^2 + b^2 } \times \sqrt {b^2 + c^2 } \times \sqrt {c^2 + a^2 } }} \\
\displaystyle \ge 3 \times \sqrt[3]{{\sqrt {2ab} \times \sqrt {2bc} \times \sqrt {2ca} }} = 3\sqrt 2 \times \sqrt[3]{{abc}} \\
又\displaystyle a + b + c \ge 3 \times \sqrt[3]{{abc}} \\
兩式相除即最小值為\sqrt 2，等號成立於a=b=c=1/3
\end{array}
\)
填充16
對於每一正整數\(n\)，\(f(n)+f(n+3)=n^2\)恆成立，若\(f(93)=93\)，求\(f(30)=\)[u] [/u]。
[解答]
\(
\begin{array}{l}
f(93) + f(30) = 90^2 - 87^2 + 84^2 - 81^2 + ... - 33^2 + 30^2 = 4590 \\
f(30) = 4497 \\
\end{array}
\)
填充18
已知\(2x+y+2=0\)，試求\(\displaystyle log_2 \frac{y}{x^2}\)的最大值為[u] [/u]。
[解答]
\(
\left\{ \begin{array}{l}
令 y = ax^2 \\
2x + y + 2 = 0 \\
\end{array} \right.
當相切時有最大值，此時a=1/2
\)
[img]https://upload.cc/i/kU6X0p.png[/img]
填充6的答案是否公布有誤
請教各位，填充6是仿全國的題型，可是公布答案是49，是否有誤？
謝謝。
回復 6# 小姑姑 的帖子
應是 169 才是回復 3# thepiano 的帖子
小弟不才，想請教thepiano大大第七題的解題構思是如何引入的呢？回復 8# eyeready 的帖子
eyeready 大大客氣了由於要取最多的數，任兩數之間的差越小越好
差 1 不合題意，差 2 的話，任兩數之和是偶數，也不合題意
所以就差 3
都取除以 3 餘 1 的數，任兩數之和除以 3 餘 2，任兩數之差是 3 的倍數，符合題意
回復 6# 小姑姑 的帖子
官方公布更改後填充第 6 題的答案為 169[url]http://www.hccvs.hc.edu.tw[/url]
回復 9# thepiano 的帖子
感謝thepiano老師長期的熱心回覆並分享解法，小弟受到許多的幫助！感恩~~回復 5# eyeready 的帖子
抱歉，我想請教填充14的第一行是如何整理得來另外想請教填充4的做法，感謝指導
回復 12# JOE 的帖子
已編輯！ [size=3][b]填充題 4. 已知 m，n 為正整數且 m² < 7n²，求 7n² - m² 的最小值為 ?[/b][/size][size=3][/size]
[size=3][/size]
[size=3]另解: 題意即考慮不定方程 7n² - m² = k，k 的情形。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]基於左式有係數 7，分析以 7 為模的餘數是合理的。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]m² ≡ 0，1，4，2 (mod 7)[/size]
[size=3][/size]
[size=3]⇒ 7n² - m² ≡ 0，6，3，5 (mod 7)[/size]
[size=3][/size]
[size=3]題目求最小值，故從最小的候選者依序考慮。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]先試 k = 3，對應的 m ≡ ±2 (mod 7)，故再試 m = 2，得 n = 1。 ^_^ [/size][size=3]! (m = 5，n = 2 亦可[/size][size=3])[/size]
[size=3][/size]
[size=3]所求最小值 = [color=red]3[/color]。[/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
[size=3][b]填充題 14. 設 a, b, c 為正實數，且 a + b + c = 1，求 √(a²+b²) + √(b²+c²) + √(c²+a²) 之最小值為 ?[/b][/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
[size=3]解 1: 由冪平均不等式，有[/size]
[size=3][/size]
[size=3]√ [ (a²+b²) /2 ] ≥ (a+b) /2[/size]
[size=3][/size]
[size=3]√ [ (b²+c²) /2 ] ≥ (b+c) /2[/size]
[size=3][/size]
[size=3]√ [ (c²+a²) /2 ] ≥ (c+a) /2[/size]
[size=3][/size]
[size=3]三式相加並移項，得 √(a²+b²) + √(b²+c²) + √(c²+a²) ≥ [color=red]√2 [/color]( 當 a = b = c 時取等號 )[/size]
110.1.30補充
我的教甄準備之路 a+b=1求極值，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1079[/url]
[size=3]解 2: 由柯西不等式: (a²+b²)*(1²+1²) ≥ (a+b)²，其餘類推，則與上法殊途同歸。[/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
[size=3]解 3: 由三角不等式: √(a²+b²) + √(b²+c²) + √(c²+a²) ≥ √ [(a+b)² + (b+c)²] + √(c²+a²) ≥ √ [(a+b+c)² + (b+c+a)²] = [color=black][color=red]√2[/color] ( 當 a = b = c 時取等號 )[/color][/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
[size=3]解 4: 數形結合[/size]
[size=3][/size]
[size=3]令向量 u = (a, b)，v = (b, c)， w = (c, a)，則向量和 u + v + w = (1, 1)[/size]
[size=3][/size]
[size=3]所求即 |u| + |v| + |w| ≥ | u+v+w | = [color=red]√2[/color] ( 當 a = b = c 時取等號 )[/size]
[size=3][/size]
[size=3](不用向量的話，亦可畫個邊長為 1 的正方形說明)[/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
[size=3]註: 由上列若干方法知，題目設 a, b, c 為 "實數" 即可 (不需為正)[/size]
回復 13# eyeready 的帖子
感謝 eyeready 老師與 cefepime老師 的指導讓我獲益良多
回復 4# laylay 的帖子
請問這個問題有計算題適用的解法嗎，感謝指導回復 2# litlesweetx 的帖子
計算第 1 題請參考 [url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/download/file.php?id=2778[/url]
回復 1# weni 的帖子
初試最低錄取分數變成 60 分 想請問第九 第18題回復 19# satsuki931000 的帖子
9.設實數\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)滿足\(a^2+b^2=4\)和\((c-5)^2+(d-12)^2=36\)，試求\(ad-bc\)的最大值為[u] [/u]。
[attach]4780[/attach]
[attach]4781[/attach]
[attach]4782[/attach]
18.
已知\(2x+y+2=0\)，試求\(\displaystyle log_2 \frac{y}{x^2}\)的最大值為[u] [/u]。
[attach]4783[/attach]
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