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Sandy 發表於 2017-6-2 02:52

106復興高中

如題

laylay 發表於 2017-6-2 04:07

1.

x(ㄏ(x^2+1)+1)=(3-x)(ㄏ[(x-3)^2+1)]+1)  , =>x(3-x)>=0 => 0<=x<=3
令A(0,1),B(3,1),C(3,0),P(x,0)  , P在OC 線段上
則OP(PA+1)=PC(PB+1),由圖易知P為OC中點,即 x=1.5

[[i] 本帖最後由 laylay 於 2018-5-28 19:27 編輯 [/i]]

litlesweetx 發表於 2017-6-2 08:05

請教3要用算幾還是科西還是其他...

yinchou 發表於 2017-6-2 08:51

回復 3# litlesweetx 的帖子

只用到算幾，不知是否有誤。

weiye 發表於 2017-6-2 09:13

因為 \(a,b,c\in\mathbb{R^{+}},\)

\(\displaystyle \frac{a^8}{8}+\frac{a^8}{8}+\frac{b^8}{8}+\frac{b^8}{8}+\frac{b^8}{8}+\frac{c^8}{8}+\frac{c^8}{8}+\frac{c^8}{8}\geq 8 \sqrt[8]{\left(\frac{a^8}{8}\right)^2\left(\frac{b^8}{8}\right)^3\left(\frac{c^8}{8}\right)^3}=a^2b^3c^3,\)


\(\displaystyle \frac{a^8}{8}+\frac{a^8}{8}+\frac{a^8}{8}+\frac{b^8}{8}+\frac{b^8}{8}+\frac{c^8}{8}+\frac{c^8}{8}+\frac{c^8}{8}\geq 8 \sqrt[8]{\left(\frac{a^8}{8}\right)^3\left(\frac{b^8}{8}\right)^2\left(\frac{c^8}{8}\right)^3}=a^3b^2c^3,\)


\(\displaystyle \frac{a^8}{8}+\frac{a^8}{8}+\frac{a^8}{8}+\frac{b^8}{8}+\frac{b^8}{8}+\frac{b^8}{8}+\frac{c^8}{8}+\frac{c^8}{8}\geq 8 \sqrt[8]{\left(\frac{a^8}{8}\right)^3\left(\frac{b^8}{8}\right)^3\left(\frac{c^8}{8}\right)^2}=a^3b^3c^2,\)


以上三式相加，可得 \(\displaystyle a^8+b^8+c^8 \geq a^2 b^3 c^3 + a^3 b^2 c^3 + a^3 b^3 c^2\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow \frac{a^8+b^8+c^8}{a^3b^3c^3}\geq\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

laylay 發表於 2017-6-2 09:49

7.

tanQAB=1/3 => sinRAB=1/ㄏ10, cosRAB=3/ㄏ10
又APR與ABR的面積一樣(同底等高)
故所求=1/2*(AR)(BR)*2=(ABcosRAB)(ABsinRAB)=16*3/10=4.8
另外建立座標系也滿快的

[[i] 本帖最後由 laylay 於 2017-6-2 18:06 編輯 [/i]]

laylay 發表於 2017-6-2 15:32

9.

a0＝cos(5pi/12),
4^n(1-an)＝4^n(1-cos(5pi/12/2^n）)
＝2*(2^n*sin(5pi/24/2^n))^2
故所求＝2*（5pi/24）^2＝25pi^2/288

[[i] 本帖最後由 laylay 於 2017-6-2 18:12 編輯 [/i]]

laylay 發表於 2017-6-2 15:53

10.

使用歸納法
n＝k+1時 a（k+2）^2-3a（k+2）a（k+1）+a（k+1）^2
＝（3a（k+1）-ak）^2-3（3a（k+1）-ak）a（k+1）+a（k+1）^2
＝a（k+1）^2-3a（k+1）ak+ak^2＝1
故得證

laylay 發表於 2017-6-2 16:41

8.

B C D＝C B D＝30度，D B＝D C＝a/ㄏ3
由拖勒密知6a＝a/ㄏ3*（b+c）,b+c＝6ㄏ3,a＝9
a^2＝b^2+c^2-bc , 81＝36*3-3bc, bc＝9
所求＝1/2*9*sin60度＝9ㄏ3/4

[[i] 本帖最後由 laylay 於 2017-6-3 05:17 編輯 [/i]]

cefepime 發表於 2017-6-2 19:40

[size=3]3. 另解: 原題即證 a[size=4]⁸[/size] + b[size=4]⁸[/size] + c[size=4]⁸[/size] ≥ a[size=4]²[/size]b[size=4]³[/size]c[size=4]³[/size] + a[size=4]³[/size]b[size=4]²[/size]c[size=4]³[/size] + a[size=4]³[/size]b[size=4]³[/size]c[size=4]²[/size][/size]
[size=3][/size]
[size=3]排序不等式[/size]
[size=3][/size]
[size=3]a[size=4]⁸[/size] + b[size=4]⁸[/size] + c[size=4]⁸[/size][/size]
[size=3][/size]
[size=3]≥ a[size=4]⁵[/size]b[size=4]³[/size] + b[size=4]⁵[/size]c[size=4]³[/size] + c[size=4]⁵[/size]a[size=4]³  [/size][/size][size=3](順序和 ≥ 亂序和)[/size]
[size=3][/size]
[size=3]≥ a[size=4]²[/size]b[size=4]³[/size]c[size=4]³[/size] + a[size=4]³[/size]b[size=4]²[/size]c[size=4]³[/size] + a[size=4]³[/size]b[size=4]³[/size]c[size=4]²   [/size][/size][size=3](亂序和 ≥ 逆序和)[/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
[size=3]--------------------------------[/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
[size=3]另外兩個不知是否能用於教甄的解法:[/size]
[size=3][/size]
[size=3]1. 微微對偶不等式: 取 (a[size=4]³[/size], b[size=4]³[/size], c[size=4]³[/size])，(a[size=4]³[/size], b[size=4]³[/size], c[size=4]³[/size])，(a[size=4]²[/size], b[size=4]²[/size], c[size=4]²[/size][/size][size=3])[/size]
[size=3][/size]
[size=3]2. Muirhead's 不等式: 取 (8, 0, 0) majorizes (3, 3, 2)[/size]


[size=3][/size]

litlesweetx 發表於 2017-6-2 23:11

謝謝各位老師的回答
想再請教第2題是利用反證法嗎?感覺有點不太對

laylay 發表於 2017-6-3 04:42

回復 11# litlesweetx 的帖子

若\( a,b \)都比\( \sqrt{n} \)大,則\(ab>n\),矛盾,所以.........

學歷最高12分 : 大學校院畢業具本科系學士學位 8
         本科系研究所畢業以上學位 12
經歷最高8分 :   大專院校專任(含代理)講師每滿1學年                   1
         公私立國、高中職專任(含代理)任教每滿1學年    1
原始分數*0.8+學歷+經歷>=65.8進複試(我剛好認識一位考生,他說的,可惜差了一點多分)

[[i] 本帖最後由 laylay 於 2017-6-4 09:41 編輯 [/i]]

thepiano 發表於 2017-6-3 09:22

回復 12# laylay 的帖子

如果是剛拿到教師證的老師，要 73 分才會進複試
以這張考卷的難度而言，算是符合水準

laylay 發表於 2017-6-3 10:26

回復 13# thepiano 的帖子

您可以教我怎麼編輯數學式子嗎?
因為常使用ㄏ當根號實在不美觀

thepiano 發表於 2017-6-3 11:31

回復 14# laylay 的帖子

請參考 [url]https://math.pro/db/thread-1895-1-1.html[/url]

eyeready 發表於 2017-6-3 16:12

第二 若是這樣直接証是否有不恰當之處呢？
\(
\begin{array}{l}
不失一般性令 a \le b \\
可得a \times b \ge a \times a \\
n \ge a^2  \\
\sqrt n  \ge a \\
同理 \sqrt n  \ge b \\
\end{array}
\)

[[i] 本帖最後由 eyeready 於 2017-6-3 16:13 編輯 [/i]]

eyeready 發表於 2017-6-3 18:50

回復 17# laylay 的帖子

小弟 16# 的程式碼(等等刪)

czk0622 發表於 2017-6-3 19:38

回復 17# laylay 的帖子

請先學好latex

zidanesquall 發表於 2017-6-3 23:16

回復 10# cefepime 的帖子

不好意思，想請教一下，亂序和\(\geq\)逆序和這邊，是怎麼產生的？

是指順序和\(\geq\)亂序和這邊可以在形成兩個新數列，再做排序嗎？

按照原本的應該是，\((a^5,b^5,c^5),(a^3,b^3,c^3)\)

不知道我有沒有理解錯誤？

cefepime 發表於 2017-6-4 00:55

[size=2][b]回復 19# zidanesquall 的帖子[/b][/size]
[size=3][/size]
[size=3]a[size=4]⁸[/size] + b[size=4]⁸[/size] + c[/size][size=4]⁸[/size]
[size=3][/size]
[size=3]≥ a[size=4]⁵[/size]b[size=4]³[/size] + b[size=4]⁵[/size]c[size=4]³[/size] + c[size=4]⁵[/size]a[size=4]³  [size=3][[/size] [/size][/size][size=3]取 (a[size=4]⁵[/size], b[size=4]⁵[/size], c[size=4]⁵[/size]) 與 (a[size=4]³[/size], b[size=4]³[/size], c[size=4]³[/size]) ⇒ 順序和 ≥ 亂序和 ]
[/size]
[size=3]≥ a[size=4]²[/size]b[size=4]³[/size]c[size=4]³[/size] + a[size=4]³[/size]b[size=4]²[/size]c[size=4]³[/size] + a[size=4]³[/size]b[size=4]³[/size]c[size=4]²  [/size][/size][size=3][ 取 (a[size=4]²[/size], b[size=4]²[/size], c[size=4]²[/size]) 與 (a[size=4]³[/size]b[size=4]³[/size], a[size=4]³[/size]c[size=4]³[/size], b[size=4]³[/size]c[size=4]³[/size]) ⇒ 亂序和 ≥ 逆序和 ][/size]
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[size=3][/size]

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