106景美女中
朋友提供的記憶版題目。8.
ㄏ[7^2+(5ㄏ2)^2-2*7*(5ㄏ2)*cos(45+45+45)度]=133.
f(x)=x^4+3x^3+x+2滿足f(1)=7,f(7)=3439,而且f(x)的非負整係數和為7,只要係數一改變,f(7)的值就馬上改變,顯然沒別的情況可滿足題目條件
所以f(2)=44
[[i] 本帖最後由 laylay 於 2017-5-27 08:55 編輯 [/i]]
1.
第一題：1~10000的正整數，求各位數字和為25 的數字有幾個？
想請問老師們，這題如以下作法是否正確？
只考慮四位數，去除某一位數超過10
\(H_{25}^4 - C_1^4 H_{15}^4 + C_2^4 H_5^4\)=348
回復 4# whatbear 的帖子
您的做法正確 埴充4索迪公式
[url]http://lyingheart6174.pixnet.net/blog/post/5121475-%E7%B4%A2%E8%BF%AA%E5%85%AC%E5%BC%8F%28soddy-formula%29[/url]
2.
(a1,b1)=sec日(cos日,sin日),每次變化為旋轉日角,故(an,bn)=sec日(cos(n日),sin(n日)),其中'日'代表'戲塔'
希望在這裡能加入方程式編輯器的功能
[[i] 本帖最後由 laylay 於 2017-5-27 16:16 編輯 [/i]]
4.
設半徑1的圓心(0,0),半徑2的圓心(3,0),半徑3的圓心(0,4),所求半徑r的圓心(x,y),則 x^2+y^2=(r+1)^2...........(1)
(x-3)^2+y^2=(r+2)^2......(2)
x^2+(y-4)^2=(r+3)^2......(3)
(2)-(1) 得 x=1-r/3
(3)-(1) 得 y=1-r/2 , 代入 (1) 得 r=6/23 [img]https://upload.cc/i/wqoXAK.png[/img]
\(
\begin{array}{l}
(1)因為 a_1 = \sqrt 3 , \\
\displaystyle \sqrt 3 \le a_2 = \sqrt {3 + \sqrt 3 } \le \frac{{1 + \sqrt {13} }}{2} \\
\displaystyle \sqrt 3 \le a_3 = \sqrt {3 + \sqrt {3 + \sqrt 3 } } \le \sqrt {3 + \frac{{1 + \sqrt {13} }}{2}} = \frac{{1 + \sqrt {13} }}{2} \\
{\rm{ }}..... \\
\displaystyle \sqrt 3 \le a_n = \sqrt {3 + \sqrt {3 + ...\sqrt {3 + \sqrt 3 } } } \le \sqrt {3 + \frac{{1 + \sqrt {13} }}{2}} = \frac{{1 + \sqrt {13} }}{2} \\
\displaystyle \forall n \in N ,\sqrt 3 \le a_n \le \frac{{1 + \sqrt {13} }}{2} \\
\end{array}
\)
\(
\begin{array}{l}
(2) \\
\displaystyle a_{n + 1}^2 - a_n^2 = 3 + a_n - a_n^2 = - (a_n - \frac{{1 + \sqrt {13} }}{2})(a_n - \frac{{1 - \sqrt {13} }}{2}) > 0 \\
因此為遞增數列
\end{array}
\)
(3)
\(
\begin{array}{l}
根據實數完備性，極限值存在，可令 \displaystyle \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } a_n = \alpha \\
\displaystyle \alpha = \sqrt {3 + \alpha } \to \alpha ^2 = 3 + \alpha \to \alpha = \frac{{1 + \sqrt {13} }}{2} (負不合) \\
\end{array}
\)
[[i] 本帖最後由 eyeready 於 2017-5-27 19:06 編輯 [/i]] 請問第10題。
回復 10# enlighten 的帖子
第10題題目應有\(k>0\)這個條件
\(\alpha \)為\({{x}^{2}}-x-k=0\)的正根
\(\begin{align}
& -\alpha =k-{{\alpha }^{2}} \\
& \left| {{a}_{n+1}}-\alpha \right|=\left| \sqrt{{{a}_{n}}+k}-\alpha \right|=\frac{\left| {{a}_{n}}+k-{{\alpha }^{2}} \right|}{\sqrt{{{a}_{n}}+k}+\alpha }=\frac{\left| {{a}_{n}}-\alpha \right|}{\sqrt{{{a}_{n}}+k}+\alpha }<\frac{\left| {{a}_{n}}-\alpha \right|}{\alpha } \\
& \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}=\alpha \\
\end{align}\)
回復 4# whatbear 的帖子
數字和25和數字和11的個數是一樣的這樣計算會簡便一些
7.(1),(2),(3)
感謝各位老師的指正[[i] 本帖最後由 yinchou 於 2017-6-1 08:13 編輯 [/i]]
回復 13# yinchou 的帖子
最後一行應是(s-b)(s-c)+s(s-a)。 7(3)\(
\begin{array}{l}
\displaystyle \sin \left( {\frac{{\frac{{A + B + C}}{2}}}{3}} \right) \ge \frac{{\sin \frac{A}{2} + \sin \frac{B}{2} + \sin \frac{C}{2}}}{3} \ge \sqrt[3]{{\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}}} \\
\displaystyle \sin 30^ \circ \ge \sqrt[3]{{\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}}} \to \sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} \le \frac{1}{8} \\
\end{array}
\) [size=3]3. f(x) 是係數為非負整數的多項式，且 f(1) = 7，f(7) = 3439，求 f(2) = ?[/size]
[size=3][/size]
[size=3]解: 由條件知，f(x) 的各項係數依降冪排列即 3439 的 7 進位表達式。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]3439 = 13012₇[/size]
[size=3][/size]
[size=3]⇒ f(x) = x⁴ + 3x³ + x + 2 (合)[/size]
[size=3]⇒ f(2) =[/size] 44
回復 2# laylay 的帖子
想請教laylay老師:為什麼原式的最小值會等於這個式子呢??
先跟您道謝了!!!
回復 17# james2009 的帖子
幫 laylay 大補個圖所求即\(\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CD}\)的最小值\(=\overline{AD}\)
回復 18# thepiano 的帖子
謝謝鋼琴老師^^第六題
第六題我印象中題目應該是sinxcosx+sinycosy+sinxsiny+cosxcosy=1
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