106新北市高中聯招
如題 計算證明第 1 題出這題應是向波蘭數學家 Wacław Sierpiński 致敬
此題出自他的大作 "250 Problems in Elementary Number Theory" 一書中的第 61 題
以下連結中有 PDF 檔
[url]http://www.isinj.com/mt-usamo/250%20Problems%20in%20Elementary%20Number%20Theory%20-%20Sierpinski%20(1970).pdf[/url] 順便附上 pdf 檔，如附件。 計算第一題
此等差數列可看成是{ 5k+6 } 的形式。
考慮 k=10萬 !
則 考慮以下此數列的連續2017個數 ： 5k+6 , 5(k+1)+6 ,...............,5(k+2016)+6
顯然每個數都是合數。 (其實k不用取到10萬! ，取大點方便而已) 計算第 2 題
P 點有以下 16 種情形
(2，1)、(2，2)、(2，3)、(2，4)
(4，1)、(4，2)、(4，3)、(4，4)
(6，1)、(6，2)、(6，3)、(6，4)
(8，1)、(8，2)、(8，3)、(8，4)
以 P(2，1) 為例，邊界上的 10 個點依順時針方向可取
(0，0)、(0，5)、(2.5，5)、(5，5)、(7.5，5)、(10，5)、(10，3.75)、(10，2.5)、(10，1.25)、(10，0) 請教填充9，12 填充10
回復 7# son249 的帖子
填充第10題1號球有3種丟法，2號到12號球各有2種丟法
所求\(=3\times {{2}^{11}}-6=6138\)種方法
扣掉的6種是單號都丟一箱，雙號都丟另一箱 填充 9 106師大填充7 有相似題
第12題 表示法有唯一嗎？不知道這樣的列法有否不恰當之處呢？
[[i] 本帖最後由 eyeready 於 2017-5-15 08:49 編輯 [/i]] 填充8 (算得有些麻煩@@")
PS：106 麗山 師大都有出過類似題
111.6.3補充
已知\(P\)為\(\Delta ABC\)內部的一點，滿足\(\angle PBA=80^{\circ}\)，\(\angle PBC=20^{\circ}\)，\(\angle PCB=10^{\circ}\)，且\(\angle PCA=30^{\circ}\)，則\(\angle PAC=\)[u] [/u]。
(111彰化女中，[url]https://math.pro/db/thread-3649-1-1.html[/url])
回復 6# son249 的帖子
填充第 9 題兩焦點為 A(-2，0)，A'(2，0)
PA + PB ≦ PA + PA' + A'B = 2a + A'B = 12 + 10 = 22
即 P 點是直線 A'B 和橢圓在第三象限的交點
填充8.
PA/sin80度=PB/sinPABPB/sin10度=PC/sin20度
PC/sinPAC=PA/sin30度
上面三式相乘得sinPACsin80度sin10度=sinPABsin20度/2（A）
因為sin80度=cos10度,cos10度sin10度=sin20度/2
=>sinPAC=sinPAB,又PAC+PAB<180度=>PAC=PAB=40度/2=20度
=>APC=180度-30度-20度=130度
由(A) 以後要馬上看出兩組三錯角正弦之積必相等
[[i] 本帖最後由 laylay 於 2017-5-15 22:17 編輯 [/i]]
填充6
不失一般性可設\(xf(x)=a(x-1)(x-2)\ldots(x-2018)+1\)則以\(x=0\)代入\(0=a \times 2018!+1\)，\( \displaystyle a=-\frac{1}{2018!} \)
故\( \displaystyle 2020f(2020)=-\frac{1}{2018!}\times 2019!+1 \)
\( \displaystyle f(2020)=-\frac{2018}{2020}=-\frac{1009}{1010} \) 請教第三題、第五題 填充第 8 題
純幾何解
回復 14# 米斯蘭達 的帖子
填充第3題\(\begin{align}
& {{x}^{6}}+{{x}^{5}}+{{x}^{4}}-28{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x+1=0 \\
& {{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x-28+\frac{1}{x}+\frac{1}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{x}^{3}}}=0 \\
& x+\frac{1}{x}=t \\
& \left( {{t}^{3}}-3t \right)+\left( {{t}^{2}}-2 \right)+t-28=0 \\
& {{t}^{3}}+{{t}^{2}}-2t-30=0 \\
& t=3 \\
& x=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2} \\
\end{align}\)
回復 15# thepiano 的帖子
請問您圖中D點最先是怎麼產生的?回復 14# 米斯蘭達 的帖子
填充第5題以\(\displaystyle a=2\cos \frac{2\pi }{7},b=2\cos \frac{4\pi }{7},c=2\cos \frac{6\pi }{7}\)為三根之方程式為\({{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x-1=0\)
參考[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1041&page=1#pid15215[/url]
\(\begin{align}
& a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b}+c+\frac{1}{c} \\
& =a+b+c+\frac{ab+bc+ca}{abc} \\
& =-\frac{1}{2}+\frac{\frac{-2}{4}}{\frac{1}{8}} \\
& =-\frac{9}{2} \\
\end{align}\)
回復 17# laylay 的帖子
以AB為邊，作正△DAB回復 19# thepiano 的帖子
謝謝您，若在題目中10改12,20改24,80改78,幾何還好做嗎?
此時由兩組錯角正弦之積會相等知
sinPACsin78度sin12度＝sinPABsin24度sin30度
＝>PAC＝PAB＝18度＝>APC＝132度。
[[i] 本帖最後由 laylay 於 2017-5-15 21:27 編輯 [/i]]