回復 20# laylay 的帖子
這樣改，純幾何就很難囉其實您用的是角元塞瓦定理
\(\frac{\sin BAP}{\sin PAC}\times \frac{\sin ACP}{\sin PCB}\times \frac{\sin CBP}{\sin PBA}=1\)
回復 21# thepiano 的帖子
您真博學,我不知有此定理,角元塞瓦定理有提到D,E,F,我所提的用不到,而且很輕易的推廣到凸n邊形內部一點P,兩組n個錯角正弦之積必相等.[[i] 本帖最後由 laylay 於 2017-5-15 22:19 編輯 [/i]]
回復 12# laylay 的帖子
獲益良多，謝謝laylay 師！ 計算第二題：扣除 \(A,B,C,D\) 四點，需在 \(\overline{AB}, \overline{BC}, \overline{CD}, \overline{DE}\) 四個線段分別取若干個等分點，
且按題意 \(P\) 到任兩個相鄰的等分點(含 \(A,B,C,D\))所連接的三角形面積皆相等，
由於 \(\triangle PAB+\triangle PCD\) 面積＝\(\triangle PAD+\triangle PBC\) 面積，
可知當且僅當滿足 「\(\overline{AB}\) 與 \(\overline{CD}\) 上的等分點個數和 ＝\(\overline{AD}\) 與 \(\overline{BC}\) 上的等分點個數和」即可達成題目要求，
所以，「\(\overline{AB}\) 與 \(\overline{CD}\) 上的等分點個數和 ＝\(\overline{AD}\) 與 \(\overline{BC}\) 上的等分點個數和＝３」
所求＝ \(H^2_3 \times H^2_3 = 4\times4 =16 \) 種情況，每種情況況恰可決定唯一的 \(P\) 點。
計算2 (補充瑋岳的解法)
如附件填充1,2,7,9
附件題號6 ,改正為7[[i] 本帖最後由 tuhunger 於 2017-5-16 12:47 編輯 [/i]]
回復 26# tuhunger 的帖子
填充2 提供另解\(
\displaystyle \frac{{C_4^{10} \times C_3^6 \times C_3^3 }}{{{\rm{2!}}}} - C_4^5 \times \frac{{C_3^6 \times C_3^3 }}{{2!}} - C_3^5 \times C_4^7 \times C_3^3 = 1700
\)
填充5
參考看看[[i] 本帖最後由 tuhunger 於 2017-5-17 08:26 編輯 [/i]]
第10題
另外一個想法 [b]回復 9# eyeready 的帖子[/b][size=3]填充題 12[/size]
[size=3][/size]
[size=3](一) 官方答案可用以下方式推得:[/size]
[size=3][/size]
[size=3]1. 原則上，一個 "兩線交點" 可以分別在所處的兩條直線上對應 2 條 "線段" (分別在該點兩側)，共 4 條; 而一個 "三線交點" 可以分別在所處的三條直線上對應 2 條 "線段"，共 6 條。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]2. 但對於一直線上位於兩端的點，在沒有相鄰點的一側並無對應 "線段"，故應減去 2n。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]3. 至此，每一條 "線段" 皆算了 2 次，故應再除以 2。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]4. 綜上，所求 = [ 4*k + 6*(m - k) - 2n ] /2 = [color=red]3m - k - n[/color][/size]
[size=3][color=#ff0000][/color][/size]
[size=3][color=black][/color][/size]
[size=3][color=black](二) [color=black]eyeready 老師的方法，我認為也是正確的，基本上為:[/color][/color][/size]
[size=3][/size]
[size=3]1. 任一直線皆與其它 n-1 條直線相交。若交點皆相異，則在該直線上構成 n-2 條 "線段"。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]2. 當存在一個 "三線交點" (即交點重合)，則與 "交點皆相異" 比較，該三條直線上的 "線段" 皆會少 1。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]3. 綜上，所求 = n*(n - 2) - 3*(m - k) =[color=red] n² - 2n - 3m + 3k[/color][/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
[size=3](三) 以上兩個答案會相等，因為:[/size]
[size=3][/size]
[size=3]1. 任二直線皆相交 1 次，故 n 條直線共相交 C(n, 2) 次。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]2. 一個 "兩線交點" 代表相交 1 次，而一個 "三線交點" 代表相交 3 次，故有:[/size]
[size=3][/size]
[size=3]C(n, 2) = k + 3*(m - k) [/size]
[size=3][/size]
[size=3]⇒ [color=#ff0000][color=black]n² - n[/color] [/color][color=black]= 6m - 4k ...(#)[/color][/size]
[size=3][/size]
[size=3]把 (#) 式代入 (二) 的答案，即得 (一) 的答案。[/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
[size=3]因此，本題的答案可有無限多種。究其原因，是因為題目多給了非獨立的條件所致。[/size]
[size=3][/size]
[[i] 本帖最後由 cefepime 於 2017-5-23 22:56 編輯 [/i]] [size=3]填充題 5[/size]
[size=3]如果沒有 thepiano 老師 和 tuhunger 老師的功力，亦可直接用三角函數解:[/size]
[size=3][/size]
[size=3]1. 由對稱性，a + b + c = -1/2[/size]
[size=3]2. 1/a + 1/b + 1/c = (ab + bc + ca) /abc[/size]
[size=3]2-1. 由積化和差， ab + bc + ca = a + b + c = -1/2[/size]
[size=3][/size]
[size=3]2-2. 由 cos (kπ /n) 的連乘公式 (從複數導出)，abc = 1/8[/size]
[size=3][/size]
[size=3]故所求 = -9 /2[/size]
回復 30# cefepime 的帖子
謝謝cefepime大 精闢的分析和解說！回復 5# thepiano 的帖子
請教大大，如何找到這16個點？感恩另外想請教填充12，沒啥想法
回復 33# oceanli 的帖子
扣掉 A、B、C、D 這 4 個點，還有 6 個點先假設 AD 上有 0 個點，因底 AD = 5，高須為 2，面積才會是 5，故 P 在直線 x = 2 上
此時 △PBC = 20，故要分成 4 個三角形，在 BC 上取 3 個等分點
設 P(2，1)，△PAB = 5
△PCD = 20，故要分成 4 個三角形，在 CD 上取 3 個等分點
其餘的 15 個點，同上 請教填充第4題，謝謝。
回復 35# 小姑姑 的帖子
填充4.取CD為單位長=>AD=2,AB=3=>BD=ㄏ(9+4-2*3*2*cos60度)=ㄏ7cosDBA=(7+9-4)/(2*3*ㄏ7)=2/ㄏ7
=> BF=(BD/2)/cosDBA=7/4 =>AF/AB=(5/4)/3=5/12
[[i] 本帖最後由 laylay 於 2017-5-19 07:24 編輯 [/i]] 請教填充11。
先令直線L上的動點為P(t+1,t,ㄏ2t)
直接計算PA+PB
會有兩個根號內有二次函數
後面如何找最小值？
謝謝！
回復 37# 小姑姑 的帖子
請參閱 填充12中，舉一例如下：如圖，n=5，m=6，k=5，題目中所說的恰有兩條直線過k個交點，那兩條直線即為 L_1、L_2。
那麼答案顯然不是 3m-k-n = 8 ，答案是 9 才對。
是題意不清，還是我誤解題目的意思@@