回復 60# thepiano 的帖子
[url]http://www.sec.ntnu.edu.tw/Monthly/87(211~220)/214/1998-214-02(16-22).pdf[/url]您指的是這篇文章第20頁的類題3的公式嗎？
(這篇文章是我用關鍵字搜尋到的，事前完全不知道有這個公式)
[[i] 本帖最後由 克勞棣 於 2020-5-3 20:24 編輯 [/i]]
106-全國高中教師聯招(詳解整理)
106-全國高中教師聯招(詳解整理)回復 61# 克勞棣 的帖子
是該連結中第17頁的定理3，第20頁的類題，只是使用它的一例子
以這題來說，也可以多做柯西
\( \left(\frac{16}{\sin^{6}\theta}+\frac{1}{\cos^{6}\theta}\right)(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta)\geq(\frac{4}{\sin^{2}\theta}+\frac{1}{\cos^{2}\theta})^{2} \)
\( (\frac{4}{\sin^{2}\theta}+\frac{1}{\cos^{2}\theta})(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta)\geq(2+1)^{2} \)
故 \( \left(\frac{16}{\sin^{6}\theta}+\frac{1}{\cos^{6}\theta}\right)\geq(2+1)^{4}=81 \)
由柯西不等式的等號條件，即可解出原程式的解為 \( \tan\theta=\sqrt{2} \)。
回復 63# tsusy 的帖子
原來還有柯西用兩次這招，很奇妙。謝謝！回復 64# 克勞棣 的帖子
依稀記得，很久以前我也像 #59 處那樣炸過這題或是它的類似考古題_______________________________________________________
承 #59 樓的算式 \( (1+x^{2})^{3}(16+x^{6})=81x^{6} \)
令 \( t = x^2 \)，用力展開移項得
\( t^{6}+3t^{5}+3t^{4}-64t^{3}+48t^{2}+48t+16=0 \)
有理根檢驗法 \( t=1,2,... \) 代入得 \( t=2 \) 為方程式的一解
而因式分解得 \( (t-2)(t^{5}+5t^{4}+13t^{3}-38t^{2}-28t-8)=0 \)
再分解得 \( (t-2)^{2}(t^{4}+7t^{3}+27t^{2}+16t+4) = 0 \)
因 \( t^{4}+7t^{3}+27t^{2}+16t+4 \) 係數皆正，
故 \( t^{4}+7t^{3}+27t^{2}+16t+4 =0 \) 無正根
因此 t 的六次方程式的正根僅有 \( t = 2 \)
故 \( \tan \theta = \sqrt{2} \)
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其實上面的算式不太重要，重要的是在這類題型中，培養使用的不等式解方程式的技能與時機
這也是我現在好像找不到當年硬暴算式的原因了(沒有留存價值)