回復 40# bettytsai 的帖子
已知圓內接\(\Delta ABC\)中，\(\overline{AB}=6\)，\(\overline{BC}=5\)，\(\overline{AC}=4\)。若\(\angle A\)的平分線分別交\(BC\)弦與\(BC\)弧於\(D\)、\(E\)兩點，
則下列哪些選項是正確的？
(A)\(\angle AEB:\angle AEC=3:2\)
(B)\(\overline{AD}:\overline{DE}=3:2\)
(C)\(\overline{AD}\times \overline{AE}=24\)
(D)設\(P\)為\(BEC\)弧上的一個動點，則\(\overline{AP}\)長的最大值為\(\displaystyle \frac{16\sqrt{7}}{7}\)。
[解答]
令\(\overline{AD}=x\)，
由餘弦定理得\(\frac{x^2+36x-9}{12x}=\frac{x^2+16x-4}{8x}\)
解得\(x=3\sqrt{2}\)
(A)\(\triangle\)AEB與\(\triangle\)AEC 有相同外接圓可得
\(\frac{6}{sin \angle AEB}=\frac{4}{sin \angle AEC}\Rightarrow sin \angle AEB\)：\(sin \angle AEC= \)3：2 所以3：2是角度正弦比非角度比
(B)由圓內冪性質知道\(\overline{AD}\times \overline{DE}=\overline{BD} \times \overline{CD}\)
解得\( \overline{DE}=\sqrt{2}\) 所以 \(\overline{AD} ： \overline{DE}= 3：1\)
(C)\(\overline{AD} \times (\overline{AD}+\overline{DE})=3\sqrt{2}\times4\sqrt{2}\)
(D)由三邊長知\(\triangle\)ABC為銳角三角形，外心在三角形內部(直徑不會在三角形的邊上)
所以最大值就是P跑到讓AP為直徑時最長
cosB=\(\frac{6^2+5^2-4^2}{2x6x5}=\frac{3}{4} \Rightarrow\) sinB=\(\frac{\sqrt{7}}{4}\)
2R= \( \frac{4}{sinB}=\frac{16 \sqrt{7}}{7}\)
回復 30# superlori 的帖子
請問這個連結是否失效了？回復 1# Sandy 的帖子
請教單選第三題 [quote]原帖由 [i]nanpolend[/i] 於 2020-4-22 11:09 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=21026&ptid=2769][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]請教單選第三題 [/quote]
設\(0<b<a\)，且\(a,b\)滿足\((log_2a)(log_2b)=-1\)及\(ab=4\)，則\(log_a b\)的值為
(A)\(-3+2\sqrt{2}\) (B)\(3+2\sqrt{2}\) (C)\(3-2\sqrt{2}\) (D)\(-3-2\sqrt{2}\)。
[解答]
令x=log_2(a) ,y=log_2(b)
因為b<a , 所以y<x
依題意知x*y= -1 ,x+y=2
則以x,y為兩根的一元二次方程式
為k²-2k-1=0 ,解出x=1+√2 ,y=1-√2
所求=log_a (b)=log_2 (b) / log_2(a) =y/x
=(1-√2)/(1+√2 )= -3+2√2
回復 1# Sandy 的帖子
請教單選第五題回復 45# nanpolend 的帖子
單選第 5 題在坐標平面上，\(A\)點坐標為\((-1,0)\)，\(B\)點坐標為\((1,0)\)，點\(P\)是直線\(x+y=4\)上的一個動點，則向量\(\vec{AP}+\vec{BP}\)長度的最小值為下列哪一個選項？
(A)4 (B)\(4\sqrt{2}\) (C)\(4\sqrt{3}\) (D)\(4\sqrt{5}\)
[解答]
P(t，4 - t)，A(-1，0)，B(1，0)
向量 AP = (t + 1，4 - t)，向量 BP = (t - 1，4 - t)
向量 AP + 向量 BP = (2t，8 - 2t)
剩下就簡單了
回復 1# Sandy 的帖子
請教單選第六題回復 47# nanpolend 的帖子
單選第6題考慮滿足以下條件的正整數數對\((x,y)\)：(i)\(106\le x \le 2017\)；(ii)\(106\le y \le 2017\)；(iii)\(8x-5y=37\)。請問\((x,y)\)共有幾組解？
(A)232 (B)233 (C)234 (D)235
[解答]
\(\begin{align}
& 8x-5y=37 \\
& y=\frac{8x-37}{5} \\
& x\equiv 4\ or\ 9\ \left( \bmod \ 10 \right) \\
& \\
& 106\le \frac{8x-37}{5}\le 2017 \\
& 106\le x\le 2017 \\
& 106\le x\le 1265 \\
& x=109,114,119,\cdots ,1264 \\
\end{align}\)
回復 1# Sandy 的帖子
請教複選第12題回復 49# nanpolend 的帖子
第12題設\(A,B,C\)均為二階方陣，且其各矩陣中的所有元均為整數，若滿足\(AB=\left[\matrix{2&2\cr -2&6}\right]\)，\(AC=\left[\matrix{5&1\cr-13&3}\right]\)，試求矩陣\(A\)可能為下列何者？
(A)\(\left[\matrix{2&0\cr 0&1}\right]\) (B)\(\left[\matrix{3&-1\cr 1&1}\right]\) (C)\(\left[\matrix{-3&1\cr 2&1}\right]\) (D)\(\left[\matrix{1&-1\cr 1&1}\right]\)
[解答]
\(\begin{align}
& AB-AC=A\left( B-C \right)=\left[ \begin{matrix}
-3 & 1 \\
11 & 3 \\
\end{matrix} \right] \\
& B-C={{A}^{-1}}\left[ \begin{matrix}
-3 & 1 \\
11 & 3 \\
\end{matrix} \right] \\
\end{align}\)
把四個選項的反矩陣求出來，再乘一乘，看所有元是否為整數
回復 9# thepiano 的帖子
填充題1設級數\(f(n)=1^n-2^n+3^n-4^n+\ldots+2015^n-2016^n+2017^n\)，求\(\displaystyle \frac{f(1)f(2)}{f(3)}=\)[u] [/u]。
回復 19# thepiano 的帖子
填充題5求值：\(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^3+8k^2+15k}=\)[u] [/u]。
回復 1# Sandy 的帖子
請教填充題6詳細作法版上解答和連結實在看不懂回復 53# nanpolend 的帖子
填充6在空間中，設球體\(S_1\)：\((x-1)^2+(y-2)^2+z^2\le 4\)，球體\(S_2\)：\((x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2\le 9\)。若\(S_1\)和\(S_2\)的交集區域為\(T\)，則區域\(T\)的體積為[u] [/u]。
(左圖不完全準確)
回復 1# Sandy 的帖子
請教填充題9回復 55# nanpolend 的帖子
先把雙曲線寫出來然後利用切線公式
找出兩條斜率為1的切線
再判斷y=x-5^(1/2)為所要求的
最後算兩條線的距離即可
回復 56# jasonmv6124 的帖子
填充9設\(P\)為直線\(x-y+5=0\)上一點，\(Q\)為雙曲線一支\(\Gamma\)：\(\displaystyle x=\sqrt{\frac{9}{4}y^2+9}\)上一點，求\(\overline{PQ}\)最小值=[u] [/u]。
回復 1# Sandy 的帖子
感謝各位老師幫忙練習過一遍 單選第2題設θ為一銳角滿足16/(sinθ)^6 + 1/(cosθ)^6=81，則tanθ=？
請教這題怎麼算？看起來似乎不難，但是在下抓不到關鍵點。
我嘗試令tanθ=x，則(sinθ)^2=x^2/(1+x^2)，(cosθ)^2=1/(1+x^2)，代回原式，
得(1+x^2)^3*(16+x^6)=81x^6
未知數固然只剩一個，但方程式次數太高，依然解不出來。
對這一題我實在很好奇。謝謝！