106全國高中聯招
如題 計算第1題(1)若\((\sqrt{2}-1)^5=\sqrt{m+1}-\sqrt{m}\)，則正整數\(m\)之值為何？
(2)請證明存在某一正整數\(m\)滿足：\((\sqrt{2}-1)^{2017}=\sqrt{m+1}-\sqrt{m}\)。
[提示]
利用
\(\begin{align}
& {{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{n}}=\sqrt{a+1}-\sqrt{a} \\
& {{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{n}}=\sqrt{a+1}+\sqrt{a} \\
\end{align}\)
可得\(m=1681\)及證出下一小題
110.11.16補充
證明對於任意自然數\(n\)，存在一個自然數\(k\)使得\((\sqrt{2}+1)^n=\sqrt{k}+\sqrt{k-1}\)。
(92高中數學能力競賽 中彰區)
111.2.5補充
給定正整數\(a>b\)，對任意正整數\(n\)皆存在正整數\(m\)，使得\((\sqrt{a}-\sqrt{b})^n=\sqrt{m+1}-\sqrt{m}\)
試問：
(1)找出並證明符合此條件的所有數對\((a,b)\)
(2)數對\((a,b)\)的方程式\((\sqrt{a}-\sqrt{b})^3=\sqrt{m+1}-\sqrt{m}\)，在\(m\)是哪些正整數時，沒有正整數對解？
(109大理高中代理，[url]https://math.pro/db/thread-3360-1-1.html[/url])
111.3.21補充
Prove that \((\sqrt{2}-1)^n \forall n\in Z^{+}\) can be represented as \(\sqrt{m}-\sqrt{m-1}\) for some \(m\in Z^{+}\).
(1994Canada National Olympiad，[url]https://artofproblemsolving.com/community/c5039_1994_canada_national_olympiad[/url])
113.3.31補充
已知
\(\displaystyle{(\sqrt 2 - 1)^2} = \sqrt 9 - \sqrt 8 \)
\(\displaystyle{(\sqrt 2 - 1)^3} = \sqrt {50} - \sqrt {49} \)
\(\displaystyle{(\sqrt 2 - 1)^4} = \sqrt {289} - \sqrt {288} \)
試證明對於任意正整數\(n\)，皆存在正整數\(m\)使得\(\displaystyle{(\sqrt 2 - 1)^n} = \sqrt {m + 1} - \sqrt m \)
(103大直高中，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1872&page=1#pid10132[/url]) 計算第3題
(1) \({{a}^{2}}\ge 3b\)
(2) \(-5<c<27\)
填充6.
在空間中，設球體\(S_1\)：\((x-1)^2+(y-2)^2+z^2\le 4\)，球體\(S_2\)：\((x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2\le 9\)。若\(S_1\)和\(S_2\)的交集區域為\(T\)，則區域\(T\)的體積為[u] [/u]。[解答]
Pi*(9-t^2)dt|7/3..3+Pi*(4-t^2)dt|2/3..2
=Pi*(9t-t^3/3)|7/3..3+Pi*(4t-t^3/3)|2/3..2
=4Pi 明天拼新北，大家一起加油囉^_^
複選9
填充4、8
計算2 想問各位老師選擇第一題有沒有不硬幹的作法...
回復 6# satsuki931000 的帖子
選擇第一題：設\(\displaystyle a=\root 3\of {\frac{3-\sqrt{5}}{2}}+\root 3 \of{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}\)，則\(a^6-6a^4+9a^2+27\)之值為
(A)34 (B)36 (C)38 (D)40
[解答]
利用 \(\left(x+y\right)^3 = x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)\)，可得
\(\displaystyle \left(\sqrt[3]{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}\right)^3 = \frac{3+\sqrt{5}}{2}+\frac{3-\sqrt{5}}{2}+3\cdot\sqrt[3]{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}\cdot \sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}\left(\sqrt[3]{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}\right)\)
\(\Rightarrow a^3 =3+3a\)
\(\Rightarrow a^3-3a=3\)
所以，\(\displaystyle a^6-6a^4+9a^2+27 = \left(a^3-3a\right)^2+27 = 36\) 想請益單選 4 7
填充1 有比較快的方法嗎
我是用(1+2+...+2017)-2(2+4+6+....+2016)這樣三個都要算 好辛苦
填充7 怎麼轉換成圖形上的意義呢
回復 8# exin0955 的帖子
填充第1題設級數\(f(n)=1^n-2^n+3^n-4^n+\ldots+2015^n-2016^n+2017^n\)，求\(\displaystyle \frac{f(1)f(2)}{f(3)}=\)[u] [/u]。
[解答]
\(\begin{align}
& f\left( 1 \right)=1+\left( -2+3 \right)+\left( -4+5 \right)+\cdots +\left( -2016+2017 \right)=1009 \\
& \\
& f\left( 2 \right)={{1}^{2}}+\left( -{{2}^{2}}+{{3}^{2}} \right)+\left( -{{4}^{2}}+{{5}^{2}} \right)\cdots +\left( -{{2016}^{2}}+{{2017}^{2}} \right) \\
& =1+5+9+\cdots +4033 \\
& =\frac{1009\times \left( 1+4033 \right)}{2} \\
& =1009\times 2017 \\
\end{align}\)
而\(f\left( 3 \right)\)的做法與您相同
填充第7題
這題是老梗題了，一般都用代數做，應該無法轉成幾何來做
回復 9# thepiano 的帖子
非常感謝鋼琴老師的解惑回復 8# exin0955 的帖子
單選第4題滿足\(\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{1899}\)的正整數數對\((x,y)\)共有多少組？
(A)5 (B)10 (C)15 (D)20
[解答]
\(\begin{align}
& \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{1899} \\
& 1899y+1899x=xy \\
& \left( x-1899 \right)\left( y-1899 \right)={{1899}^{2}}={{3}^{4}}\times {{211}^{2}} \\
\end{align}\)
\({{3}^{4}}\times {{211}^{2}}\)有15個正因數
所求為15組
單選第7題
試問\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left(\sum_{k=n}^{2n-1}\frac{3}{\sqrt{nk}}\right)\)之值最接近下列哪一個選項？
(A)3 (B)2.7 (C)2.6 (D)2.5
[解答]
\(\begin{align}
& \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sum\limits_{k=n}^{2n-1}{\frac{3}{\sqrt{nk}}} \right) \\
& =\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{3}{\sqrt{{{n}^{2}}}}+\frac{3}{\sqrt{{{n}^{2}}+n}}+\frac{3}{\sqrt{{{n}^{2}}+2n}}+\cdots +\frac{3}{\sqrt{{{n}^{2}}+{{n}^{2}}-n}} \right) \\
& =3\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{n}\left( \frac{1}{\sqrt{1+\frac{0}{n}}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{1+\frac{n-1}{n}}} \right) \\
& =3\int_{0}^{1}{\frac{1}{\sqrt{1+x}}dx} \\
& =3\left( 2\sqrt{2}-2 \right) \\
& =6\sqrt{2}-6 \\
\end{align}\) 請教複選 2 與 4 想請教一下填充5和填充7
麻煩各位老師了
複選4
我是把各選項的反方陣算出來
再拿去乘AB和AC
結果必須要是每一個元素都是整數才可以
複選2
迴歸線公式請見高中第二冊4-2回復 14# tuhunger 的帖子
謝謝tuhunger老師這次考題變化比以前大,一時沒轉過來
當時只想到\(\displaystyle \frac{1}{2}=r x \frac{S_y}{S_x}\)，\(a+b=14\), 然後就.... 請教填充2與3
謝謝
回復 16# arend 的帖子
填充3空間中，\(A(4,-4,4)\)、\(B(2,0,0)\)、\(C(-1,0,-3)\)、\(D\)四點同在一平面\(E\)上，若\(ABCD\)為一等腰梯形且\(\overline{AB}\)//\(\overline{CD}\)，求\(D\)點坐標[u] [/u]。
[解答]
\(\overline{AB}\)//\(\overline{CD}\)可設\(D(-1+t,-2t,-3+2t)\)
且\(\overline{AD}^2=\overline{BC}^2=18 \Rightarrow t^2-6t+8=0 \Rightarrow t=4 or 2\)
\(t=2\)時\(\overline{AD}\)//\(\overline{BC}\)不合，故\(t=4\)，\(D(3,-8,5)\)
回復 16# arend 的帖子
填充第二題：四邊形\(ABCD\)，已知\(\angle A=120^{\circ}\)，\(B\)和\(D\)都是直角，\(\overline{AB}=13\)，\(\overline{AD}=46\)，試求\(\overline{AC}=\)[u] [/u]。
[解答]
觀察：
因為 \(\angle ABC = \angle ADC = 90^\circ\)，
所以 四邊形 \(ABCD\) 內接於「以\(\overline{AC}\) 為直徑的圓」。
解：
在 \(\triangle ABD\) 中，由餘弦定理，\(\overline{BD}=\sqrt{13^2+46^2-2\cdot 13\cdot 46 \cos120^\circ}=31\sqrt{3}\)
在 \(\triangle CBD\) 中，由正弦定理，\(\displaystyle\frac{\overline{BD}}{\sin60^\circ}=2 \times\mbox{四邊形}ABCD\mbox{的外接圓半徑}\)
\(\Rightarrow \overline{AC}=2\times\mbox{四邊形}ABCD\mbox{的外接圓半徑}=62\)
回復 13# Bra 的帖子
填充第5題求值：\(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^3+8k^2+15k}=\)[u] [/u]。
[解答]
\(\begin{align}
& \frac{1}{{{k}^{3}}+8{{k}^{2}}+15k} \\
& =\frac{1}{k\left( k+3 \right)\left( k+5 \right)} \\
& =\frac{1}{5}\left[ \frac{1}{k\left( k+3 \right)}-\frac{1}{\left( k+3 \right)\left( k+5 \right)} \right] \\
& =\frac{1}{15}\left( \frac{1}{k}-\frac{1}{k+3} \right)-\frac{1}{10}\left( \frac{1}{k+3}-\frac{1}{k+5} \right) \\
\end{align}\)
回復 16# arend 的帖子
填充2另解四邊形\(ABCD\)，已知\(\angle A=120^{\circ}\)，\(B\)和\(D\)都是直角，\(\overline{AB}=13\)，\(\overline{AD}=46\)，試求\(\overline{AC}=\)[u] [/u]。
[解答]
（現在流行寫兩解，每解只能得一半分數）
cos120＝cc-ss,（cc+1/2）^2＝（ss）^2＝（1-c^2）（1-c^2）
c^2+c^2+cc＝3/4,兩邊同乘A C^2得13^2+46^2+13*46＝3/4*A C^2
得A C＝62
這裡頭令人好奇的是AC為整數難道純屬巧合嗎？