106彰化女中
如附檔 Part B 第七題\( (a+b+c)^{2017} \) 的任一項為 \( a^{x} b^{y} c^{z}, x+y+z=2017 \) 的形式 ，因此共有 \( C^{2019}_{2} \)個不同類項。
然而當 y 和 z 兩數是一奇數一偶數時，\( a^{x} b^{y} c^{z} \) 和 \( a^{x} (-b)^{y} (-c)^{z} \) 會互消。
而當 \( x+y+z=2017 \) ，且 y 和 z 是一奇一偶時，\((x, y ,z )\)的奇偶性為 (偶, 奇, 偶) 或(偶, 偶, 奇)；
(1) 若(x, y ,z )為 (偶, 奇, 偶) 時，可令\(x=2p, y=2q+1, z=2r\)，其中\(p,q,r\)為整數，則\(2p+(2q+1)+2r = 2017\)，即\(p+q+r = 1008\)，因此將有 \( C^{1010}_{2} \)個項會消失。
(2) 若\((x, y ,z )\)為 (偶, 偶, 奇) 時， 計算方式同(1) ，結果亦相同。
綜合上述，\( (a+b+c)^{2017} + (a-b-c)^{2017} \) 會有\( C^{2019}_{2} - 2 C^{1010}_{2} = 2037171- 1019090 = 1018081 \) 個不同項。 [size=3]填充 B - 7 ( a + b + c ) ²⁰¹⁷+ ( a - b - c ) ²⁰¹⁷ 化簡後共有幾項?[/size]
[size=3][/size]
[size=3]解: ( a + b + c ) ²⁰¹⁷+ ( a - b - c ) ²⁰¹⁷ = [ a + (b + c) ] ²⁰¹⁷+ [ a - (b + c) ] ²⁰¹⁷[/size]
[size=3][/size]
[size=3]化簡後剩 (b + c) 取偶次方者 = 1+3+5+...+2017 = 1009² = 1018081 項。[/size]
填充A1.
設xyz=k,令f(t)=t^3-3t^2-9t-k,則f(t)=0 三根為x,y,z , f`(t)=3t^2-6t-9=3(t-3)(t+1)由函數圖形(請自己畫)知
當x有最大值時-1為f(t)=0的重根=>f(t)=(t+1)^2*(t-5)=>x有最大值=5(此時y=z=-1)
當x有最小值時 3為f(t)=0的重根=>f(t)=(t-3)^2*(t+3)=>x有最小值=-3(此時y=z=3)
另解:
y+z=3-x
x(y+z)+yz=-9 => yz=-9-x(3-x)=x^2-3x-9
(y-z)^2=(y+z)^2-4yz=(3-x)^2-4(x^2-3x-9)=-3(x+3)(x-5)>=0 => -3<=x<=5 (等號成立時y=z=(3-x)/2)
最近一題兩解有出現,每解只能得一半喔 !
回復 4# laylay 的帖子
\(y\)，\(z\)是方程式\({{t}^{2}}+\left( x-3 \right)t+\left( {{x}^{2}}-3x-9 \right)=0\)的兩實根\(\begin{align}
& {{\left( x-3 \right)}^{2}}-4\left( {{x}^{2}}-3x-9 \right)\ge 0 \\
& -3\le x\le 5 \\
\end{align}\)
回復 4# laylay 的帖子
另解:填充B第3
填充B6.
令g(x)=f(x+2015)=ax^2+bx+c則原式=> 1<=g(-2)= 4a-2b+c <=5.....(1)
3<=g(-1)= a-b+c <=13.....(2) 2<=g(0)= c <=8.....(3)
設目標=g(2)=4a+2b+c=p(4a-2b+c)+q(a-b+c)+r(c)
比較係數得 p=3,q=-8,r=6
故最大值=5p+3q+8r=39 請問填充A2,5,7題,謝謝
回復 9# 阿光 的帖子
A-2 題分成以下情形
(1) 四個 5：1 種
(2) 三個 5：6 種
(3) 二個 5：22 種
(4) 一個 5：54 種
(5) 零個 5：81 種 請以各種不同的解題方法求點到直線距離。
題目：求點\(P(8,7)\)到直線\(L\)：\(4x-3y+19=0\)的距離。
說明1：請於每種方法概述該法的主要解題結構，再列出解題過程。
說明2：每種方法得3分，本題上限12分。
[提示]
這張大概應該80分才能進複試吧！
計算一 小弟提供自己想到了4個方法
(1)代點到直線距離公式
(2)設直線參數式，配方法求最小值
(3)三角函數
(4)柯西
110.5.3補充
請根據108課綱的數學課程安排，分別使用10年級、11年級、12年級和大學微積分介紹的數學方法解此題目：
「\(x\)、\(y\)為實數，已知\(3x+4y=5\)，求\((x-1)^2+(y+2)^2\)的最小值與此時的\((x,y)\)值。」
(請標註該方法為哪一年級，每個方法2分，共8分)
(110彰化女中，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3514&page=1#pid22759[/url])
113.1.27補充
點到直線的13種證明方法
113.5.4補充
請利用108課綱高一學生可以理解的方法證明：已知點\(P(x_0,y_0)\)，直線\(L\)：\(ax+by+c=0\)，則\(P\)到\(L\)的距離為\(\displaystyle \frac{|\;ax_0+by_0+c|\;}{\sqrt{a^2+b^2}}\)。
(113全國高中職聯招，[url]https://math.pro/db/thread-3859-1-1.html[/url])
113.5.7補充
在數學「直線與圓」單元中提到，坐標平面上一點\(P(m,n)\)到直線\(L\)：\(ax+by+c=0\)的距離\(\displaystyle d(P,L)=\left|\frac{am+bn+c}{\sqrt{a^2+b^2}} \right|\)。請回答下列問題：
(1)請以高職一年級學生的先備知識為基礎證明上式。
(2)現有一道問題「求平面上一點\(P(1,2)\)到直線\(L\)：\(x+y=-3\)的距離。」除了使用「點到直線的距離」公式之外，請你另寫出2種給高職二年級學生的解答。
(113南港高工，[url]https://math.pro/db/thread-3863-1-1.html[/url])
填充A7.
建立坐標系 B(-4,0),D(-2,0),C(0,0),E(-3,0)射線CA:x-y=0，y>＝0作過B,D的圓其半徑R,圓心Q(-3,k),k>0 使圓交射線CA於A,則由正弦定理知 2/sinBAD=2R,欲使角BAD最大則R要最小=>圓與射線CA:x-y=0 相切
=> d(Q,射線CA:x-y=0)^2 =R^2=>(k+3)^2/2=k^2+1
=>k^2+6k+9=2k^2+2 => (k-7)(k+1)=0 =>k=7
tanBAD=tanBQE=1/k=1/7
回復 9# 阿光 的帖子
A-7 另解作DE垂直直線AC於E，作BF垂直直線AC於F
CD=2，DE=CE=√2，BC=4，BF=CF=2√2
令AC=x
\(\begin{align}
& \tan BAD=\tan \left( BAF-DAE \right) \\
& =\frac{\frac{2\sqrt{2}}{x+2\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{2}}{x+\sqrt{2}}}{1+\frac{2\sqrt{2}}{x+2\sqrt{2}}\times \frac{\sqrt{2}}{x+\sqrt{2}}} \\
& =\frac{\sqrt{2}x}{{{x}^{2}}+3\sqrt{2}x+8}\le \frac{1}{7} \\
& \\
& \frac{{{x}^{2}}+3\sqrt{2}x+8}{\sqrt{2}x}=\frac{x}{\sqrt{2}}+\frac{8}{\sqrt{2}x}+3\ge 2\sqrt{4}+3=7 \\
\end{align}\) [size=3]填充 A - 2 另解[/size]
[size=3][/size]
[size=3]取捨原理: 4⁴ - 3*2*4² + 2² = 164[/size]
[size=3][/size]
[size=3][size=3][/size]
[size=3]填充 A - 7 另解[/size]
設 A 在 BC 上的垂足為 A'，令 AA' = A'C = x
tan∠BAD = tan(∠BAA' - ∠DAA') = x / (x²+3x+4) [ x>0 ] ⇒ 最大值 = 1/7
計算 1
除了 eyeready 老師提出的方法，另可用 1. 先求垂足 2. 向量投影長 3. 由面積求高
[/size]
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A-5 想請問計算第三題，這題好像在哪看過，但就是想不起來回復 16# tommy10127 的帖子
98彰化女中，103台中二中，103南大附中都考過.....參考[url]https://www.physixfan.com/archives/445[/url]
回復 16# tommy10127 的帖子
x^2<=1-y^2 , z^2<=1-y^2 給定y 則x,z圍出4(1-y^2)的面積,y由-1積分到1得體積=4(y-y^3/3)[-1..1]=4[(1-1/3)-(-1-(-1)/3)]=16/3若再加上x^2+z^2<=1的條件
則體積變成(根號2)^3+6*4(y-y^3/3)[1/根號2..1]=16-8根號2
填充B2.
(x^4+8x^3-2x^2+kx-5)'＝4x^3+24x^2-4x+k＝0它的三根即為-6,-1,1＝> k＝-24
填充A4.
L必過反曲點（0,-5）設L:y＝mx-5代入f得x^2＝2-mB C^2＝x^2*(1+m^2)得20＝(2-m)(1+m^2)得m＝-2
L:y＝-2x-5