106內湖高中
感謝四位朋友幫忙回想，只差第一題，有三個太醜的數據沒人記得想問 5 , 6 , 9 , 10
回復 1# Superconan 的帖子
第9題\(\frac{4a}{b+c}+\frac{4b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\ge \frac{7}{2}\)
令\(b+c=x,a+c=y,a+b=z\)
\(a=\frac{-x+y+z}{2},b=\frac{x-y+z}{2},c=\frac{x+y-z}{2}\)
原不等式左邊改寫為
\(\begin{align}
& \frac{-2x+2y+2z}{x}+\frac{2x-2y+2z}{y}+\frac{x+y-z}{2z} \\
& =-2-2-\frac{1}{2}+\left( \frac{2y}{x}+\frac{2x}{y} \right)+\left( \frac{2z}{x}+\frac{x}{2z} \right)+\left( \frac{2z}{y}+\frac{y}{2z} \right) \\
& \ge -\frac{9}{2}+4+2+2 \\
& =\frac{7}{2} \\
\end{align}\)
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第10題\({{h}^{2}}+4hk+8{{k}^{2}}=4\)
令\({{h}^{2}}+{{k}^{2}}=m\)
\(\begin{align}
& m\left( {{h}^{2}}+4hk+8{{k}^{2}} \right)=4\left( {{h}^{2}}+{{k}^{2}} \right) \\
& \left( m-4 \right){{h}^{2}}+\left( 4mk \right)h+\left( 8m-4 \right){{k}^{2}}=0 \\
& {{\left( 4mk \right)}^{2}}-4\left( m-4 \right)\left( 8m-4 \right){{k}^{2}}\ge 0 \\
& {{m}^{2}}-\left( m-4 \right)\left( 2m-1 \right)\ge 0 \\
& {{m}^{2}}-9m+4\le 0 \\
& \frac{9-\sqrt{65}}{2}\le m\le \frac{9+\sqrt{65}}{2} \\
\end{align}\)
第九題
式子是a,b 的對稱式故在此徵求證明'='成立時a必等於b則左式>=8b/(b+c)+(b+c)/2b-1/2>=2根號(8*1/2)-1/2=7/2,'='成立於 c=3a=3b時
所以本題若改成填充題求min,就記得先看誰跟誰是對稱式,那麼誰就要先等於誰,其餘再說
回復 1# Superconan 的帖子
第 6 題(1) 轉移矩陣的問題，就不做了
(2) 第一晚和第六晚都在 A，則第二晚和第五晚有以下 9 種情形，分三種類型討論
(i) 同一點：(二，五) = (A，A)、(B，B)、(E，E)
上面的每一種，(三，四) 有 3^2 - 2 = 7 種情形
以 (二，五) = (A，A) 為例，扣掉的 2 種是 (三，四) = (B，E)、(E，B)
(ii) 相鄰：(二，五) = (A，B)、(A，E)、(B，A)、(E，A)
上面的每一種，(三，四) 有 3^2 - 3 = 6 種情形
以 (二，五) = (A，B) 為例，扣掉的 3 種是 (三，四) = (A，C)、(E，B)、(E，C)
(iii) 不相鄰：(二，五) = (B，E)、(E，B)
上面的每一種，(三，四) 有 4 種情形
以 (二，五) = (B，E) 為例，4 種是 (三，四) = (A，A)、(A，E)、(B，A)、(C，D)
所求 = 7 * 3 + 6 * 4 + 4 * 2 = 53 種
#回覆一樓
第六題提供其他想法
轉移矩陣先算機率53/243
反推回排列組合答案53
而且有規則，費氏數列
第一次:1
第二次:1+1+1=3...(0)
第三次:3+2+2=7...(1)
第四次:7+6+6=19...(1)
第五次:19+17+17=53...(2)
第六次:53+50+50=153...(3)
......
回復 7# 王重鈞 的帖子
轉移矩陣的機率換成1和0，就可以算次數了回復 1# Superconan 的帖子
回#5的(2)設定方程組形成的增廣矩陣, 各行分別為A,B,C,D.
則Δ=0, 代表|A B C|=0 ; Δ_{x}=0, 代表|DBC|=0.
由矩陣運算性質可以知道, 若|A B C|=0, 代表A=mB+nC.
所以Δ_{y}=|A D C|=|mB D C|+|nC D C|=0; 同理, Δ_{z}=|A B D|=|mB B D|+|nC B D|=0.
第6題
表格法，用來算排列數，或機率都很快#類似題目可見數學101第90回的第6題
回復 1# Superconan 的帖子
10.\(\Gamma\)：\(x^2+4xy+8y^2-4=0\)，若\((h,k)\)為\(\Gamma\)上一點，求\(h^2+k^2\)的最小值。
[解答]
\(x^2+4xy+8y^2-4=0\)
\((x+2y)^2+(2y)^2=4\)
故令\(\cases{x+2y=2cos \theta \cr 2y=2sin \theta}\Rightarrow \cases{x=2sin \theta-2 cos \theta \cr y=sin \theta}\)
所求即
\(\displaystyle x^2+y^2=5sin^2 \theta+4cos^2 \theta-8sin\theta cos \theta=cos^2 \theta-8sin \theta cos \theta+4=\frac{1}{2}cos 2\theta-4 sin 2 \theta+\frac{9}{2}\)
又由疊合知\(\displaystyle \frac{9-\sqrt{65}}{2}\le x^2+y^2 \le \frac{9+\sqrt{65}}{2}\)
回復 1# Superconan 的帖子
可否請問第三題？謝謝！回復 11# vicki8210 的帖子
第 3 題，請參考附件 [size=3]9. 設 a, b, c 是正實數。證明: 4a/(b+c) + 4b/(a+c) + c/(a+b) ≥ 7/2[/size][size=3][/size]
[size=3][/size]
[size=3]另解: [/size][size=3]不妨設 a + b + c = 1。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]左式[/size]
[size=3][/size]
[size=3]= 4a/(1-a) + 4b/(1-b) + c/(1-c)[/size]
[size=3][/size]
[size=3]= (-9) + [color=blue]4/(1-a) + 4/(1-b) + 1/(1-c) [/color][color=black]......(#)[/color][/size]
[size=3][color=#0000ff][/color][/size]
[color=#0000ff][size=3][color=black]再由柯西不等式: [/color][color=blue][[/color] 4/(1-a) + 4/(1-b) + 1/(1-c) ] [color=black]* [ (1-a)+(1-b)+(1-c) ] ≥ (2+2+1)²[/color][/size][/color]
[size=3][/size]
[size=3]⇒ [color=#0000ff]4/(1-a) + 4/(1-b) + 1/(1-c) [color=#000000]≥ 25/2[/color][/color][/size]
[size=3][/size]
[size=3]再代回 #式，得證。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]------------------------------------------------[/size]
[size=3][/size]
[size=3]請參考另一題: [url=https://math.pro/db/thread-2436-2-3.html][color=#0066cc]https://math.pro/db/thread-2436-2-3.html[/color][/url] 13#[/size]
[size=3][/size]
[size=3]之前版主 bugmens 老師曾提示過 "解題策略" 的觀念。從這兩題 thepiano 老師的妙解中 (本帖 2#)，可以體會: 對於非對稱性，一次有理函數形式的最小值問題，可以嘗試的策略為: 把各分母部分設為新變數，並以之表示各分子，再採用算幾不等式求之。至於各算幾不等式取等號的條件"恰好"可吻合，則是題目設計的結果。[/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size] [size=3]3. [/size][size=3]另解:[/size]
[size=3][/size]
[size=3]想法: 由 f(x) 的型式，不難聯想到 "二項分配(布)"。[/size]
[size=3][/size]
[size=3](題目應有言明: 諸 [size=4]a[/size][size=2]i[/size] 互異，且 f(x) 式中的 "n" 為正整數)[/size]
[size=3][/size]
[size=3]構思一個情境: 有一硬幣，擲出後出現正，反面的機率分別為 x， (1-x)。今進行投擲 n 次之試驗後，共給予基本計分[size=4]a[/size]₀，並且，每擲出一次正面，就另予額外計分 d (d ≠ 0)。在此， d 為數列 <[size=4]a[/size][size=2]i[/size]> 後項與前項之差 (至少三項時，即 "等差數列的公差")。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]則 f(x) 即表示此次試驗的得分期望值。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]另一方面，利用期望值具有"和"的性質，該期望值 = [size=4]a[/size]₀+ n*(一次投擲的額外計分期望值) = [size=4]a[/size]₀+ n*x*d[/size]
[size=3][/size]
[size=3]根據 "算兩次"，得 f(x) = [size=4]a[/size]₀+ ndx，為 x 的一次式。[/size]
[size=3][/size]
[size=3](但是，以上過程僅適用 0 ≤ x ≤ 1，因此尚有下文)[/size]
[size=3]由上述知，對於次數不高於 n 的多項式函數 f(x)，存在無窮多個實數 0 ≤ x ≤ 1，滿足 f(x) = [size=4]a[/size]₀+ ndx。故本題得證。[/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size] [size=3]6. (2) 第一晚及第六晚皆在 A 樹，求這六個晚上的棲息順序有幾種?[/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
[size=3]另解: 數字化[/size]
[size=3][/size]
[size=3]以逆時針方向為正，則下一晚的位移可能為 0，1，-1 三種。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]又經過 5 晚回到原處，則總位移可能為 0，5，-5 三種。[/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
[size=3]情形 1: 總位移 = 0[/size]
[size=3][/size]
[size=3]1-a 一個 0，二個 1，二個 -1 ⇒ C(5,2)*C(3,2) = [color=red]30[/color][/size]
[size=3][/size]
[size=3]1-b 三個 0，一個 1，一個 -1 ⇒ P(5,2) = [color=red]20[/color][/size]
[size=3][/size]
[size=3]1-c 五個 0 ⇒ [color=red]1[/color][/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
[size=3]情形 2: 總位移 = 5[/size]
[size=3][/size]
[size=3]五個 1 ⇒ [color=red]1[/color][/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
[size=3]情形 3: 總位移 = -5[/size]
[size=3][/size]
[size=3]同情形 2 ⇒ [color=red]1[/color][/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
[size=3]所求 = 30+20+1+1+1 = [color=blue][b]53[/b][/color][/size]
[size=3][/size]
第8題
請問一下，第8題的AB與CD線段都跟BC垂直嗎？而且BC是過圓心的線段，這樣理解對嗎？
回復 1# Superconan 的帖子
關於第三題，請問是否仍需要在多加一個條件 \(a_0\neq a_1\) ?想法如下
\(2a_{n+1}=a_{n+2}+a_{n}\)
\(a_{n}=a_{0}+n(a_{1}-a_{0})\)
因此
\(
\begin{align*}
f(x) &= \sum_{k=0}^{n} a_{k}C^{n}_{k}x^k(1-x)^{n-k}\\
&= \sum_{k=0}^{n}[a_0+k(a_1-a_0)]C^{n}_{k}x^{k}(1-x)^{n-k}\\
&= a_0+(a_1-a_0)nx
\end{align*}
\)
若依題意，要證明
\(f(x)\) 是 \(x\) 的一次式
那 \(a_0\neq a_1\) 這條件是否要存在?
謝謝老師們的幫忙
回復 17# floot363 的帖子
抱歉，沒注意到「thepiano 」老師和「cefepime 」老師已解這題我把「Superconan 」老師的的記錄整理成 PDF 檔
若有錯誤再麻煩老師們提醒，我再更改
請教第7題
請問版上老師第七題有沒有比較好的算法小弟算好久,這樣在考場上分數是拿不到的
謝謝
回復 19# anyway13 的帖子
淺見參考有錯還不吝指教
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