106高雄女中
今天剛考的 106 雄女第一題p和q可以透過琴生不等式得到，但是q和r怎麼比大小呢？
\(
3 < \alpha < \beta < 4
\)
\(
\begin{array}{l}
\displaystyle p = \log _2 \sqrt[3]{{\alpha \beta ^2 }} \\
\displaystyle q = \log _2 \frac{{\alpha + 2\beta }}{3} \\
\displaystyle r= 2^{\frac{{\alpha + 2\beta }}{3} - 3} \\
\end{array}
\)
回復 1# eyeready 的帖子
令\(x=\frac{\alpha +2\beta }{3}\)\(\begin{align}
& 3<x<4 \\
& 1<\frac{\log 3}{\log 2}<q<2 \\
& 1<r<2 \\
\end{align}\)
畫圖可知\(q>r\)
回復 2# thepiano 的帖子
哦哦！原來是看範圍變動判別，謝謝thepiano，小弟一直想說是不是要用其他的不等式來代換\(
那答案應該是 q > p > r (小弟檔案壓縮，有需要的可以自行調整參數)
\)
[img]https://upload.cc/i/FjYgvi.gif[/img]
回復 3# eyeready 的帖子
小弟不才想請教q,p什麼時候等號成立?
先跟老師道謝!
回復 4# james2009 的帖子
根據琴生不等式，等號成立在於\(
\alpha=\beta=\beta
\)
那應該沒有等號才是！
PS：小弟剛剛僅用GGB檢驗(差距太小，電腦就視為相同值了)，就忘了檢驗等號成立條件，感謝瑋仔的提醒！
回復 4# james2009 的帖子
其實我也有這個疑惑因為我覺得應該是不會有等號
回復 5# eyeready 的帖子
eyeready老師客氣了!另外,其實我是用算幾不等式做的!
對於詹森不等式其實不熟...
還以為是自己考慮的因素太少....
不過,總算解決疑惑了!!
感謝樓上老師們!
(繼續回憶題目去
106雄女記憶有缺失版
如附件，希望板友一起補齊，感謝!!!回復 1# 米斯蘭達 的帖子
有一個是証明\(
用和差角証明\cos 3\theta=4\cos ^3 \theta-3\cos \theta
再用另證再證一次
\)
再一題
\(
給定 y \ge |3x|+|x - 1|+|x - 2|，找目標函數f(x,y) = y - mx在其範圍內，最小值發生在端點上時，m的範圍？
\)
小弟大概記得的就這樣了！
[[i] 本帖最後由 eyeready 於 2017-4-30 23:15 編輯 [/i]] 第一題log的，q,r 可以用\(\log_2 x\) 和 \(2^{x-3}\)(把\(2^x\)往右平移3單位)去看
當[i]x[/i]=3時，\(\log_2 3\,>\,1=2^{3-3}\)
當[i]x[/i]=4時，\(\log_2 4\,=\,2=2^{4-3}\)
再稍微畫個圖，p,q,r的大小關係就非常明顯了
如圖，p在紫色線段上 所以 q > p > r
補充兩題：
第6題嗎?
設 \(a_n\) 為費波納係數列\(a_1=1,a_2=1\)，\(i=\sqrt{-1}\)，
試求\(\displaystyle \sum_{k=1}^{2017} i^{2017-a_n}\)
第10題?
ABCD為一凸四邊形，設M為兩對角線的交點，P為三角形ADM的重心，Q為三角形BCM的重心，R為三角形ABM的垂心，S為三角形CDM的垂心。
試證 PQ垂直RS
回復 8# 米斯蘭達 的帖子
檔案中第6題:數據如下
\(\displaystyle\sum_{i =1}^{10}x_{i}=70,\sum_{i =1}^{10}y_{i}=50,\sum_{i =1}^{10}x_{i}^{2}=1490,\sum_{i =1}^{10}x_{i}y_{i}=420\) 有一個正方形舞台，邊長為10公分，在四個頂點上架設兩個以對角線為直徑的半圓，交點在舞台中心點的正上方。
將鐵絲網佈滿後形成一個鳥籠，請以切片法的方式計算出此鳥籠的體積為何？ 複試58 感謝大家提供記憶中的題目
已將所有題目盡量完整重現key進電子檔
回復 14# SCCDCD 的帖子
小弟給SCCDCD 大大一個讚！ 小弟算的參考答案，有錯誤的地方還請提點一下，感恩^^1 q>p>r
2 小弟另証為複數極式
3 \(- 5 < m < 5, 但m \ne 1,3 \) (感謝 thepiano 提供)
4 673
5 5.7
6 30
7 \((2a-b+3)(-a^3+2a-b+3)<0 \)
8\( \displaystyle \frac{{{\rm{1000}}\sqrt {\rm{2}} }}{{\rm{3}}} \) (感謝BambooLotns mathguy 提供)
9 (1)略 (2)0 (3)15/16
10 120° 或 60° (已更正)
11 thepiano大好像証過，但忘記了@@"
12 5
回復 16# eyeready 的帖子
可以請教第八鳥籠的積分嗎？奇怪，我的鳥籠答案eyeready 答案有異
1000根號2/3，抱歉，不會發圖，留給別人幫忙。 我跟mathguy答案是一樣的\(r\)為正方形對角線的一半，\(\displaystyle r=\frac{10\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{2}\)
所求為\(\displaystyle \int_0^r \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\times 2 \sqrt{r^2-x^2}\right)^2dx=\frac{4}{3}r^3=\frac{1000}{3}\sqrt{2}\)
回復 19# BambooLotus 的帖子
我的想法是用正方形堆疊從中間切一個正方形，面積是\((\sqrt{2}r)^2\)，再把這個面積從底部積到頂部
所以變成 \(\displaystyle\int_{0}^{5\sqrt{2}}2r^2dr=\frac{500}{3}\sqrt{2}\)