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米斯蘭達 發表於 2017-4-29 19:23

106台北市立和平高中

想請教有沒有板友對題目有印象?
一共12題計算證明，很多題需要一題多解

只記得一題，拋磚引玉

試用三種方法證明：邊長為1的正方形ABCD中，若正方形內部一點P滿足(AP線段長)^2+(CP線段長)^2=2(BP線段長)^2，則P點會在對角線AC上

laylay 發表於 2017-5-1 06:40

回復 1# 米斯蘭達 的帖子

連AC,設中點為O,連OP,
在PAC中由中線定理知2BP^2=AP^2+CP^2=2(OP^2+OC^2)=2(OP^2+OB^2)
=>BP^2=OP^2+OB^2=>P點會在對角線AC上
另外還有建立座標系,向量法

[[i] 本帖最後由 laylay 於 2017-5-1 06:47 編輯 [/i]]

dedekind 發表於 2017-5-1 08:11

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thepiano 發表於 2017-5-1 11:05

回復 4# laylay 的帖子

小弟這裡可以開啟

thepiano 發表於 2017-5-1 11:33

回復 6# laylay 的帖子

請參考

laylay 發表於 2017-5-1 12:32

回復 7# thepiano 的帖子

謝謝,但第五題分子根號裏面(x+2)外面應該再多個根號吧?這樣才是0/0,分母先使用半角公式,再使用羅必達即可

laylay 發表於 2017-5-3 06:58

第二題

橢圓的一三象限兩軸對翻維持周長不變但此時面積由原本的abPI增加了(a-b)^2(>(a-b)^2*PI/4)
此時面積>abPI+(a-b)^2*PI/4=((a+b)/2)^2PI=半徑(a+b)/2的圓面積
因為所有周長一樣大的圖形中以圓的面積最大(或許題目有給此定理吧!)
故橢圓的周長>半徑(a+b)/2的圓周長=(a+b)PI

[[i] 本帖最後由 laylay 於 2017-5-3 09:06 編輯 [/i]]

Lillian 發表於 2017-10-1 16:45

請問各位先進第8題的證明，除了用假設n個向量為
向量OA1=r*sin(pi/n)+r*cos(pi/n)，
~，向量OAn=r*sin((2n-1)pi/n)+r*cos((2n-1)pi/n)，
再全部相加得證之外，第二種證明需如何用數學式證明呢？

thepiano 發表於 2017-10-2 11:51

回復 8# Lillian 的帖子

向量 OA_1 + 向量 OA_3 = t * 向量OA_2
向量 OA_2 + 向量 OA_4 = t * 向量OA_3
向量 OA_3 + 向量 OA_5 = t * 向量OA_4
:
:
:
向量 OA_(n-2) + 向量 OA_n = t * 向量OA_(n-1)
向量 OA_(n-1) + 向量 OA_1 = t * 向量OA_n
向量 OA_n + 向量 OA_2 = t * 向量OA_1

2(向量 OA_1 + 向量 OA_2 + ... + 向量 OA_n) = t(向量 OA_1 + 向量 OA_2 + ... + 向量 OA_n)
但 t 不為 2
故 向量 OA_1 + 向量 OA_2 + ... + 向量 OA_n = 0

[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2017-10-2 12:07 編輯 [/i]]

Lillian 發表於 2017-10-5 21:52

回復 9# thepiano 的帖子

謝謝 thepiano 大大~

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