回復 16# thepiano 的帖子
感謝鋼琴老師！回復 12# james2009 的帖子
您好：我從倒數第三行起就看不懂如何往下推了
回復 22# rotch 的帖子
應該是這樣吧？回復 23# eyeready 的帖子
感恩您的說明 想請教第11題，謝謝！回復 25# d3054487667 的帖子
第 11 題\(\displaystyle A=\frac{1}{2}\left[\matrix{\displaystyle cos\frac{2\pi}{n}&-sin\frac{2\pi}{n}\cr sin\frac{2\pi}{n}&cos\frac{2\pi}{n}}\right]\)，\(x_1=1,y_1=0\)，\(\left[\matrix{x_{k+1}\cr y_{k+1}}\right]=A\left[\matrix{x_k\cr y_k}\right],k\in N\)，平面上\(O(0,0),P_k(x_k,y_k),P_{k+1}(x_{k+1},y_{k+1}),\)所圍三角形面積為\(S_k\)，求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}(n\times \sum_{k=1}^n S_k)\)[u] [/u]。
[解答]
請參考附件
回復 26# thepiano 的帖子
解法一樣小弟就刪帖，不獻醜了！>"<回復 26# thepiano 的帖子
謝謝 thepiano 老師，我知道我哪裡出問題了，沒注意到sin2(pi)/n恆正可以去掉絕對值，謝謝指教 12.設\(x,y,z\)為非負實數，且\(x+2y+3z=1\)。求\(2x^2y+12y^2z+9z^2x\)的最大值為[u] [/u]。
[解答]
[size=3]一個與 thepiano 老師雷同的作法。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]原題即: a, b, c 為非負實數，a + b + c = 1，求 a²b + b²c + c²a 的最大值。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]解: 不妨設 a ≥ b，a ≥ c。因 a²b + b²c + c²a - (ab² + bc² + ca²) = (a-b)(a-c)(b-c)，可進一步設 a ≥ b ≥ c，則 ab ≥ ac ≥ bc。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]由排序不等式: a²b + b²c + c²a ≤ a²b + abc + bc² = b (a² + ac + c²) = b [ (a+c)² - ac ][/size]
[size=3][/size]
[size=3]當 b 為定值時 (則 a+c 亦然)，右式在 c = 0 時有最大值，且可取得等號。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]故原題化為: 非負實數 a + b = 1，求 a²b 的最大值。則由 AM ≥ GM 得最大值 = 4/27。[/size]
請問填充六
請問填充六 謝謝回復 30# YAG 的帖子
一個四面體的每一個面都是邊長分別為6,9,9的三角形，求該四面體體積[u] [/u]。[解答]
[attach]4058[/attach]畫出來，四個面都會是等腰三角形
設\(\overline{BC}\)中點為\(M\)、\(\overline{AD}\)中點為\(N\)、高為\(h\)
則\(\overline{AM}=\overline{DM}=6\sqrt{2}\)，因為都是等腰三角形，所以\(A\)到底面積的高，垂足會落在\(\overline{BD}\)上，先可得到\(\overline{MN}=3\sqrt{7}\)
\(\displaystyle\frac{\overline{DM}\times h}{2}=\frac{6\times\overline{MN}}{2}\rightarrow h=\displaystyle\frac{3\sqrt{7}}{\sqrt{2}}\)
體積就可以直接算，\(V=\displaystyle\frac{1}{3}\times 6\times 6\sqrt{2}\times\frac{3\sqrt{7}}{\sqrt{2}}\times \frac{1}{2}=18\sqrt{7}\)
回復 30# YAG 的帖子
第 6 題一個四面體的每一個面都是邊長分別為6,9,9的三角形，求該四面體體積[u] [/u]。
[解答]
菱形 ABCD，AB = BC = CD = DA = 9，AC = 6，BD = 2√(9^2 - 3^2) = 12√2
設 AC 和 BD 交於 E，則 BE = DE = 6√2
沿對角線 AC 摺起，讓 B 和 D 的距離為 6，即為題目的四面體
四面體以 △ABC 為底面，高為 △BED 中，D 到 BE 的距離
△ABC = 18√2
△BEC = 9√7，C 到 BE 的距離 = (3/2)√14
所求 = (1/3) * 18√2 * (3/2)√14 = 18√7
回復 31# zidanesquall 的帖子
最後面是乘以1/2吧？回復 33# thepiano 的帖子
對！沒發現我少打了，感謝鋼琴老師！ 謝謝 thepiano 和 zidanesquall 老師 6.一個四面體的每一個面都是邊長分別為6,9,9的三角形，求該四面體體積[u] [/u]。
[另解]
[size=3]4個面皆全等的四面體，可視為在一長方體上取 4 個不共稜的頂點所連接而成 (或說是由一長方體"切"下來的)[/size]
[size=3][/size]
[size=3]令此長方體邊長為 a，a，b，則 a² + a² = 36，a² + b² = 81[/size]
[size=3][/size]
[size=3]⇒ a = √18，b = 3√7[/size]
[size=3][/size]
[size=3]所求 = (1/3)*a²b = [color=red]18√7[/color][/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
14.
設\(P,Q\)為橢圓\(\displaystyle \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\)上兩動點，\(P\)在第一象限，\(Q\)在第二象限，且\(\angle POQ=90^{\circ}\)(\(O\)為原點)，求\(\triangle POQ\)的最小面積為[u] [/u]。
[另解]
[size=3]考慮橢圓與以其長軸為直徑的圓之關係[/size]
[size=3][/size]
[size=3]令 OP 與 x 軸正向夾角 = θ，tan θ = t[/size]
[size=3][/size]
[size=3]題目所求為角度 α+β 最大時的情形，其中 tan α = t*(2/√3)，tan β = (1/t)*(2/√3)[/size]
[size=3][/size]
[size=3]利用 tan (α+β) = (-2√3)*(t + 1/t) 與[/size][size=3] AM-GM 知，此時 t = 1，即 θ = 45°[/size]
[size=3][/size]
[size=3]在 (x²/4) + (y²/3) = 1 上，令 P (x₀，x₀)，所求 = x₀² = [color=red]12/7[/color][/size]
[size=3][color=#ff0000][/color][/size]
[size=3][color=#ff0000][/color][/size]
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