106師大附中
參考附件填充 1.填
設\(a_n\)表傳球\(n\)次後球在林的方法數則\( a_7+a_6=4^6 \)，\( a_6+a_5=4^5\) ......\(a_2+a_1=4^1\)，\(a_1=0 \)
=>\( a_7=4^6-4^5+4^4-4^3+4^2-4=3276 \)
計算4.
\(t^4-zt^3-yt-x=0 \)有\(a,b,c\)三根=>\( \displaystyle t^4-zt^3-yt-x=(2t^3-2t^2+3t-1) \left( \frac{t}{2}+\frac{3}{4}\right) \)
=>\( \displaystyle x=\frac{3}{4},y=-\frac{7}{4},z=-\frac{1}{2} \) 填充1
感謝laylay老師的說明，小弟另外再補充個作法
題意所求可視為7個區塊(傳7次)，5種不同顏色(人)，相鄰區域不同色，因為必須傳給Lin，故最後一個區域必須固定，故除5
\(
\displaystyle \frac{{(5-1)^7 +(-1)^7(5-1)}}{5} = 3276
\)
填充6 除了三角函數硬爆外，大家有其他想法嗎？
填充7 當A、D、P共線時周長最大
[img]https://upload.cc/i/W6c82w.png[/img]
填充8 答案錯了，應該是\(-2\)
[img]https://upload.cc/i/t7sGkz.png[/img]
填充13
\(
\displaystyle 一路領先問題 \frac{{C_{51}^{99+51-1+2} +C_{51-1}^{99+51-1+2} }}{{C_{51}^{150} }} = \frac{{151}}{{202}}
\)
計算6
\(
\begin{array}{l}
\displaystyle \left( {\frac{{a^2 }}{{a+3b}}+\frac{{b^2 }}{{a+3b}}+\frac{{b^2 }}{{b+3c}}+\frac{{c^2 }}{{b+3c}}+\frac{{c^2 }}{{c+3a}}+\frac{{a^2 }}{{c+3a}}} \right)\left( {a+3b+a+3b+b+3c+b+ 3c+c+3a+c+3a} \right) \\
\displaystyle \ge \left( {a + b + b + c + c + a} \right)^2 \\
\end{array}
\)
[[i] 本帖最後由 eyeready 於 2017-4-27 10:30 編輯 [/i]]
填充5.
(3/13)*(6/10)(最後為白球)+(6/13)*(3/7)(最後為黑球)=153/455建議再加5顆黃球,其他不變,有興趣的請討論看看
[[i] 本帖最後由 laylay 於 2017-4-27 11:05 編輯 [/i]] 第一部分 填充11
[attach]3989[/attach]
[[i] 本帖最後由 windin0420 於 2017-4-27 12:23 編輯 [/i]] 想請問填充2.3.6.8.12
填充6...1/2的答案想不出來
填充8...半徑要怎麼算
剩下的完全沒想法
感謝 填充12.
[attach]3992[/attach]
回復 7# g112 的帖子
填充第3題\( \displaystyle f\left( x \right)=\frac{{{x}^{4}}+r{{x}^{2}}+1}{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}=1+\frac{\left( r-1 \right){{x}^{2}}}{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}\)
\(\left( 1 \right)r=1,f\left( x \right)=1\)，恆成立
\(\begin{align}
& \left( 2 \right)r>1 \\
& 0\le \frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}\le \frac{1}{3} \\
& 0\le \frac{\left( r-1 \right){{x}^{2}}}{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}\le \frac{r-1}{3} \\
& 1\le f\left( x \right)\le \frac{r+2}{3} \\
& 1+1>\frac{r+2}{3} \\
& 1<r<4 \\
& \\
& \left( 3 \right)r<1 \\
& 0\le \frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}\le \frac{1}{3} \\
& \frac{r-1}{3}\le \frac{\left( r-1 \right){{x}^{2}}}{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}\le 0 \\
& \frac{r+2}{3}\le f\left( x \right)\le 1 \\
& \frac{r+2}{3}>0 \\
& \frac{r+2}{3}+\frac{r+2}{3}>1 \\
& -\frac{1}{2}<r<1 \\
\end{align}\)
綜合以上，\(-\frac{1}{2}<r<4\) 懂了,感謝鋼琴和pgcci7339兩位老師
回復 7# g112 的帖子
填充第 6 題在 △ADC 中，由正弦定理
\(\begin{align}
& \frac{\overline{AD}}{\sin \theta }=\frac{\overline{AC}}{\sin \left( \pi -2\theta \right)}=\frac{\sqrt{3}}{2\sin \theta \cos \theta } \\
& \overline{AD}=\frac{\sqrt{3}}{2\cos \theta } \\
\end{align}\)
在 △BDC 中，由正弦定理
\(\begin{align}
& \frac{\overline{BD}}{\sin \left( \pi -2\theta -\frac{\pi }{3} \right)}=\frac{\overline{CD}}{\sin \frac{\pi }{3}} \\
& \frac{1}{\sin \left( 2\theta +\frac{\pi }{3} \right)}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2\cos \theta }}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\cos \theta } \\
& \sin \left( 2\theta +\frac{\pi }{3} \right)=\cos \theta \\
& 0<\theta <\frac{\pi }{2} \\
& \theta =\frac{\pi }{18}\ or\ \frac{\pi }{6} \\
& \sin 3\theta =\frac{1}{2}\ or\ 1 \\
\end{align}\)
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請參閱另想請教g112 兄 填充10 您是怎麼算的呢？
填充8
\(
己知線段\overline {AB} 是以C(0,1)為圓心且與函數y = \frac{1}{{|x|-1}}的圖形有交點
\)
\(
的所有圓中半徑最小的圓的一條直徑，O為原點，則向量OA\) \(\cdot \)\(向量 OB？\)
[img]https://upload.cc/i/t7sGkz.png[/img]
\(如上圖所示，最小圓發生於相切時，可用判別式等於0求得半徑之值\)
\(
取右半圓x>0，設x^2+(y-1)^2=r^2代入\displaystyle y = \frac{1}{{|x|-1}}
\)
\(
\begin{array}{l}
\displaystyle 可得r^2-(y-1)^2 = (\frac{1}{y}+1)^2整理完後得到
\displaystyle y^2-2y+2+\frac{2}{y}+\frac{1}{{y^2 }} =r^2
\end{array}
\)
\(
\displaystyle 再令t = y - \frac{1}{y},整理可得t^2-2t+4-r^2=0
\)
\(
因為最小圓相切恰一解，判別式=0，可得r^2=3，
可取A(0, - \sqrt 3+1)
\)
\(
B(0,\sqrt 3+1)求出所求為-2
(設參數式亦可)
\)
[[i] 本帖最後由 eyeready 於 2017-4-28 21:50 編輯 [/i]]
回復 7# g112 的帖子
填充 2. 寫得有得長，前面是合理推測答案，後面是證明，順序有得亂，請見諒\( 106^{106} = 53^{106} \times 2^{106} \)
重點在 53 這個質因數，當兩數模 53 同餘時，兩數相減會有53 這個因數。
因此我們將\( S_n \) 中的元素以模 53 來分類，各分類的元素個數記作 \( x_i \)，滿足 \( \sum x_i =n \)。
令 \( p = \sum \frac{x_i(x_i-1)}{2} \)，則 \( 53^p \) 整除 \( \prod\limits_{i\neq j} (a_i-a_j) \)
而函數 \( f(x) = \frac12 x(x-1) \) 是凸函數，因此 \( p \) "應"在 \( x_i \) 盡量接近時有最小值。
當 \( x_i =3 \), \( i=1,2,3,\ldots, 26 \), \( x_i =2 \), \( i =27,28,\dots 53 \) 時，\( p = 26\times 2 + 27 = 105 \)
取 \( S_n = \{1,2,3 \ldots 132 \} \)，此 \( S_n \) 滿足上行 \( x_i \)，且無 \( 53^2 \mid a_i - a_j \) 之情況，故 \( 53^{105} \) 整除 \( \prod\limits_{i \neq j} (a_i-a_j) \)，但 \( 53^{106} \) 不整除 \( \prod\limits_{i\neq j} (a_i-a_j) \)。
因此 \( n > 132 \)。
當 \( x_i =3 \), \( i=1,2,3,\ldots, 27 \), \( x_i =2 \), \( i =28,29,\dots 53 \) 時，\( p = 27\times 2 + 26 = 107 \)
至此，可相信 \( n \) 之最小值為 \( 3\times 27 + 2\times 26 =133 \)
但證明部分尚缺「而函數 \( f(x) = \frac12 x(x-1) \) 是凸函數，因此 \( p \) "應"在 \( x_i \) 盡量接近時有最小值。」即最小值發生的情況正好是上上行，因為其餘情況，\( 53^{106} \) 必整除 \( \prod\limits_{i \neq j} (a_i-a_j) \)。
而最小值的證明，本等上與凸函數不等式相同，但在這裡 \( x_i \) 是非負整數，也就是離散版的。
運用反證法，假設有 \( x_i, x_j \) 滿足 \( x_i \geq x_j +2 \)
易驗 \( \frac12 x_i(x_i-1) + \frac12 x_j(x_j-1) > \frac12 (x_i-1)(x_i-2) +\frac12 (x_j+1)x_j \)
因此我們將 \( x_i, x_j \) 換成 \( x_i-1, x_j+1 \)，可保持 \( n = \sum x_k \) 不變，但 \( p \) 的值更小。
因此當 \( p \) 達最小值時，任兩個 \( x_i, x_j \) 必須滿足 \( |x_i - x_j| \leq 1 \)。
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2017-8-6 14:20 編輯 [/i]] 第十題 小弟試著用GGB繪圖會比較直觀一些
PS：想請教各位老師們Case 1 有沒有比較快的討論法呢？
[img]https://upload.cc/i/GicxhW.png[/img]
[解]
Case1：正四面體邊長為6的相交情況
[img]https://upload.cc/i/xytIkQ.png[/img]
Case2：正四面體邊長為6根號3的相交情況
[img]https://upload.cc/i/vorUbO.png[/img]
[[i] 本帖最後由 eyeready 於 2017-5-10 17:51 編輯 [/i]] 請問4樓
填充7如何證明A,D,P共線時，周長最大。
回復 15# Chen 的帖子
[img]https://upload.cc/i/W6c82w.png[/img]\(
\begin{array}{l}
\overline {AF} + \overline {PF} + \overline {PA} = \overline {AF} + \overline {PA} + (2a - \overline {PD} ) \\
= \overline {AF} + 2a + \overline {PA} - \overline {PD} \le \overline {AF} + 2a + \overline {AD} \\
\end{array}
\)
可知當P、A、D共線時有最大值
PS：106新北聯招有出類似題
[[i] 本帖最後由 eyeready 於 2017-5-17 16:38 編輯 [/i]] [size=3]填充題 13 另解:[/size]
[size=3][/size]
[size=3]公式: 某次選舉，甲得 m 票，乙得 n 票 (m ≥ n)，則開票過程中，甲的票數一路領先的機率 = (m - n) / (m + n)[/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
[size=3]本題所求為: 開票過程中，甲最多落後乙 1 票的機率 -- 仍可借助上列公式 (若求 "甲一路不落後的機率"，亦可)。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]原理: 甲得 99 票、乙得 51 票，甲最多落後乙 1 票的方法數 = 甲得 101 票、乙得 51 票，甲一路領先的方法數。[/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
[size=3]解: [ C(152, 101)*(50 /152) ] / C(150, 99) = 151 /202[/size]
[size=3][/size]
[size=3]--------------------------------------[/size]
[size=3][/size]
[size=3]一般用方格圖解，則:[/size]
[size=3][/size]
[size=3][ C(150, 99) - C(150, 101) ] / C(150, 99) = 151 /202
[/size]
[[i] 本帖最後由 cefepime 於 2017-5-18 23:21 編輯 [/i]] 想請教計算4
有類似的題目嗎?
謝謝~
回復 18# litlesweetx 的帖子
前面3#就有laylay老師的解答了小弟把符號打好再貼一次 請問有高手會證第二部分第5題嗎？！
我想好久，但還是證不嚴謹@@
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