回復 20# Chen 的帖子
計算證明第 5 題(1) 若 AB = AD，則 CD = BC，ABCD 是箏形，易知有內切圓
(2) 若 AB = BC，則 CD = AD，ABCD 是箏形，易知有內切圓
(3) 若 (1) 和 (2) 均不成立
不失一般性，設 AB ＞ AD，則 BC ＞ CD
在 AB 上取 AE = AD，在 BC 上取 CF = CD
則 △ADE、△BEF、△CDF 均為等腰三角形
設 O 為 △DEF 之外心，由全等，易知 O 到 AB、BC、CD、AD 之距離均相等
即 ABCD 有內切圓圓 O 謝謝21樓
您的證明中這裡：「由全等，易知 O 到 AB、BC、CD、AD 之距離均相等」
我可看出 O 到 AB、AD 之距離相等且 O 到 BC、CD 之距離相等。
但是如何看出 O 到 AD、CD 之距離相等呢？？
回復 22# Chen 的帖子
最後用 O 到 AB、BC 之距離相等 回23樓，我明白了，謝謝 thepiano 老師的說明！請教計算第三題
請問板上老師計算第三題乙學生這樣解對嗎? 以前鋼琴老師用直角三角形推導的公式"2/3*r^3*tan日"來驗算是對的這題題目給的解法應該只能用在剛好碰到圓柱的頂端吧，正常要用重積分
補個鋼琴老師推導的連結
[url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/download/file.php?id=1451[/url]
[[i] 本帖最後由 BambooLotus 於 2017-6-5 14:50 編輯 [/i]]
回復 26# BambooLotus的帖子
謝謝 BambooLotus 老師熱心的答覆! 計算證明題3乙的解法也是錯的，只是剛好答案是對的
以平行E的方式所得截面是半橢圓，不是正三角形 [quote]原帖由 [i]tsusy[/i] 於 2017-5-4 21:37 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=17143&ptid=2747][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
填充 2. 寫得有得長，前面是合理推測答案，後面是證明，順序有得亂，請見諒
\( 106^{106} = 53^{106} \times 2^{106} \)
重點在 53 這個質因數，當兩數模 53 同餘時，兩數相減會有53 這個因數。
因此我們將\( S_n \) 中的元素 ... [/quote]
回復 9# thepiano 的帖子
請問不能等於嗎? 我覺得等號是可以成立的呀 [quote]原帖由 [i]thepiano[/i] 於 2017-4-27 19:46 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=16986&ptid=2747][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]填充第3題
\( \displaystyle f\left( x \right)=\frac{{{x}^{4}}+r{{x}^{2}}+1}{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}=1+\frac{\left( r-1 \right){{x}^{2}}}{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}\)
\(\left( 1 \right)r=1,f\left( x \right) ... [/quote]
我是這麼作的, 令
\(\displaystyle f(x)=\frac{x^4+rx^2+1}{x^4+x^2+1}=\frac{x^2+r+\frac{1}{x^2}}{x^2+1+\frac{1}{x^2}}=\frac{y+r}{y+1}=1+\frac{r-1}{y+1}=g(y)\), 其中 \(y=x^2+\frac{1}{x^2}\geq 2\).
(i) 當 \(r=1\) 時, 顯然成立.
(ii) 當 \(r>1\) 時, \(g(y)\) 為遞減函數, 設 \(a\geq b\geq 2\), 則 \(g(a)\leq g(b)\leq g(2)\).
由題意可得 \(g(a)+g(b)>g(2) \forall a\geq b\geq 2\),
即 \(\displaystyle1+\frac{r-1}{a+1}+1+\frac{r-1}{b+1}>1+\frac{r-1}{2+1} \forall a\geq b\geq 2\), 對 \(a,b\) 取極限可得
\(\displaystyle \lim_{a, b\to\infty}1+\frac{r-1}{a+1}+1+\frac{r-1}{b+1}\geq1+\frac{r-1}{2+1} \), 可得\(\displaystyle 1\geq\frac{r-1}{3}\), 亦即 \(r\leq4\).
因此 \(1<r\leq4\).
(iii) 當 \(r<1\) 時, \(g(y)\) 為遞增函數, 設 \(a\geq b\geq 2\), 則 \(\displaystyle g(a)\geq g(b)\geq g(2)=1+\frac{r-1}{3}>0\), 因此 \(r>-2\).
由題意可得 \(g(a)<g(b)+g(2) \forall a\geq b\geq 2\), 亦即 \(g(a)-g(b)<g(2) \forall a\geq b\geq 2\).
故 \(\sup_{a\geq b\geq 2}g(a)-g(b)\leq g(2)\).
因為 \(g(x)\) 為一嚴格遞增函數, 故 \(\sup_{a\geq b\geq 2}g(a)-g(b)=\lim_{a\to\infty,b\to 2}g(a)-g(b)=1-g(2)\).
故得 \(1-g(2)\leq g(2)\), 即 \(\displaystyle\frac{1}{2}\leq g(2)=1+\frac{r-1}{3}\), 即 \(\displaystyle-\frac{1}{2}\leq r\).
因此 \(\displaystyle-\frac{1}{2}\leq r<1\).
綜合(i)(ii)(iii)可得 \(\displaystyle-\frac{1}{2}\leq r\leq 4\).
以下證明 \(r=4\) 和 \(\displaystyle r=-\frac{1}{2}\) 時, 對任意實數 \(a\geq b\geq c\geq 2\), \(g(a), g(b), g(c)\) 均可形成三角形三邊長.
(i) 當 \(r=4\) 時, \(g(a)\leq g(b)\leq g(c)\leq g(2)=2\).
此時 \(\displaystyle g(a)+g(b)=1+\frac{3}{a+1}+1+\frac{3}{b+1}>2=g(2)\geq g(c)\),
因此 \(g(a), g(b), g(c)\) 可形成三角形三邊長.
(ii) 當 \(\displaystyle r=-\frac{1}{2}\) 時, \(\displaystyle g(a)\geq g(b)\geq g(c)\geq g(2)=\frac{1}{2}\).
此時 \(\displaystyle g(a)-g(b)\leq g(a)-g(2)=-\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{a+1}+\frac{1}{2}<\frac{1}{2}=g(2)\leq g(c)\),
因此 \(g(a), g(b), g(c)\) 可形成三角形三邊長.
好奇怪, 為什麼測試時能用 \dfrac, 正式發文時卻不行@@?
[[i] 本帖最後由 leonyo 於 2017-8-15 06:54 編輯 [/i]]
回復 30# leonyo 的帖子
r=4時，取a=b=0，c=1，f(a)=f(b)=1，f(c)=2，無法構成三角形回復 32# thepiano 的帖子
感謝鋼琴大, 原來差在x=0這地方回復 31# leonyo 的帖子
不知道 leonyo 老師你所謂的測試是指在 WinEdt 或 TeXwords 或 Lyx 平台測試若是上敘三者，可能老師您在環境設定時已經設定
\renewcommand{\d}{\displaystyle}
所以 mathpro 是無法讀懂何謂
\dfrac
可能還是得打字為
\displaystyle\frac
網頁才能顯示出來老師您所要的樣式
[[i] 本帖最後由 floot363 於 2017-9-4 19:37 編輯 [/i]] 填充第2題
只有我認為答案應該是2的嗎?XD
"設 Sn為由 n 個整數為元素所構成的集合"----------完全沒說到要連續整數的條件
因此隨便弄個集合{1,1+106^106}就一定整除了
如果是限定連續整數，則連乘積為1^(n-1)*2^(n-2)*....*53^(n-53)*....*106^(n-106)*.....
取53的次數要>=106次，因此(n-53)+(n-106)>=106,n>=132.5,取整數就是133
回復 35# jackyxul4 的帖子
填充2.沒有連續整數的條件，記得前面我寫過，也沒有當連續整數，而是題意中
欲使 \( 106^{106} \) [color=Red]"恆"[/color] 可整除，意思是不管哪個 S，只要元素 n 個，就整除，所以不能指定 S
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2018-2-16 00:06 編輯 [/i]]
回復 36# tsusy 的帖子
我知道我哪邊搞錯了，的確是任取133個數就必然可整除頁:
1
[2]