Math Pro 數學補給站 » 高中的數學 » 106麗山高中

weiye 發表於 2017-4-23 21:32

106麗山高中

感謝某匿名網友無私提供的回憶版考題！

108.5.18補充
12.
設\(a,b,c,d \in R,abcd \ne 0\)，且\(a+b+c+d=0\)，則
\(\displaystyle a(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d})+b(\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{1}{a})+c(\frac{1}{d}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b})+d(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\)之值為[u]　　　[/u]。
(Fubini定理，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid9317[/url])

son249 發表於 2017-4-24 15:35

請教證明第2題

yinyu222 發表於 2017-4-24 17:25

二、計算證明、申論題
2.
設\(p,q\)為大於1的正整數，若\(p>q\)，\(x>0\)；試證\(\displaystyle \frac{x^p-1}{p}\ge \frac{x^q-1}{q}\)。
[解答]
我的做法，寫得滿簡略的。

laylay 發表於 2017-4-24 18:18

回復 2# son249 的帖子

2.
設\(p,q\)為大於1的正整數，若\(p>q\)，\(x>0\)；試證\(\displaystyle \frac{x^p-1}{p}\ge \frac{x^q-1}{q}\)。
[另證]
令 f(x)=左式-右式 , f`=x^(p-1)-x^(q-1) , 0<x<1 時 f`<0 , f 為遞減
x>1 時 f`>0 , f 為遞增 故f(1)=0為x>0 時 f(x)之最小值=> f(x)>=0
此即x>0時左式>=右式,恆成立,故得證

yinyu222 發表於 2017-4-24 22:51

回復 3# yinyu222 的帖子

我剛剛發現我圖2劃錯，應該要像上圖1那樣，不過結果沒差就是了。

hhd1331 發表於 2017-4-26 16:55

請問有強者可以提供答案嗎

請問有強者可以提供答案嗎??

tommy10127 發表於 2017-4-27 08:38

不好意思，想請教填充第一題跟第三題

thepiano 發表於 2017-4-27 10:08

回復 7# tommy10127 的帖子

第 3 題
13個小正方形排列，若要塗上紅、黃、藍三種顏色，並規定每個小正方形恰塗一色，相鄰不同色，則有[u]　　　[/u]種塗法。
[解答]
只看九宮格就好，外面的4格，每格都有2種填法

九宮格中間有3種填法

九宮格中間先塗紅
圖 A 的剩餘空格有\({{2}^{4}}\)種填法
圖 B、C、D、E、F、H 的剩餘空格有\({{2}^{2}}\)種填法
圖 G 的剩餘空格有1種填法
由於黃和藍對稱
故九宮格中間塗紅的情形有\(\left( {{2}^{4}}+{{2}^{2}}\times 6+1 \right)\times 2=82\)

所求\(=82\times 3\times {{2}^{4}}=3936\)種

koeagle 發表於 2017-4-27 14:38

回復 6# hhd1331 的帖子

106麗山高中(填充題答案版)。

tommy10127 發表於 2017-4-27 15:09

回復 8# thepiano 的帖子

感謝鋼琴大

cefepime 發表於 2017-4-27 21:06

1.
下圖為某班的教室座位配置圖，現將甲、乙、丙等30位同學隨機安排入坐，每格恰坐1位，則甲、乙、丙三人彼此皆不相鄰的機率為[u]　　　[/u]。 (前後相鄰或左右相鄰都算相鄰)
☐☐☐☐☐☐
☐☐☐☐☐☐
☐☐☐☐☐☐
☐☐☐☐☐☐
☐☐☐☐☐☐
[解答]
[size=3]想法: 人數少，用取捨原理相對簡明。(又，不需排列也不需考慮其它人)[/size]
[size=3][/size]
[size=3]解:[/size]
[size=3][/size]
[size=3]三人入坐法 = C(30,3) = 4060[/size]
[size=3][/size]
[size=3]相鄰的方法數 = 28*(5*5 + 6*4) - (4*5 + 6*3) - 4*(5*4) = 1254[/size]
[size=3][/size]
[size=3]相鄰的機率 = 627/2030[/size]
[size=3][/size]
[size=3]不相鄰的機率 = 1403/2030[/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]

阿光 發表於 2017-4-28 05:44

請教計算證明3,4題,謝謝

eyeready 發表於 2017-4-28 13:45

回復 11# cefepime 的帖子

小弟不才，能否煩勞cefepime 大大 能再說明一下算式的過程呢？

cefepime 發表於 2017-4-28 19:06

[b][size=3]回復 13# eyeready 的帖子[/size][/b]
[b][size=3][/size][/b]
[size=3]相鄰的方法數: 先選 2 個相鄰的座位 (同列: 5*5，同行: 6*4)，再選第 3 個座位 (30 - 2 = 28) ⇒ 28*(5*5 + 6*4)[/size]
[size=3][/size]
[size=3]但以上會把: 3 人同列緊鄰 (4*5)，3 人同行緊鄰 (6*3)，3 人呈"虧格狀"緊鄰 [ 先考慮虧格所在的 2x2 方形 ⇒ 4*(5*4) ] 的情形皆多算 1 次，故予相減。[/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]

eyeready 發表於 2017-4-28 19:33

回復 14# cefepime 的帖子

原來如此，感謝cefepime 大大的解說！您的想法讓小弟讚嘆不已！
PS:5/4會備份主機大家要留意ㄧ下板上資訊

4.
四邊形\(ABCD\)中，\(\overline{BC}=\overline{CD}\)，\(\angle ABC=114^{\circ}\)，\(\angle BCD=144^{\circ}\)，\(\angle BAC=30^{\circ}\)，則\(\angle ADC=\)[u]　　　[/u]
[解答]
\(
\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle \frac{x}{{\sin 30^{\rm{^\circ }} }}=\frac{{\overline {AC} }}{{\sin 114^{\rm{^\circ }} }} \\
\displaystyle \frac{x}{{\sin (72^{\rm{^\circ }} - \theta )}}=\frac{{\overline {AC} }}{{\sin \theta }} \\
\end{array} \right. \\
\displaystyle  2\sin (72^{\rm{^\circ }} - \theta )\sin 114^{\rm{^\circ }} = \sin \theta  \\
  \displaystyle 2\sin (72^{\rm{^\circ }} - \theta )\cos 24^{\rm{^\circ }} = \sin \theta  \\
\theta  = 48^{\rm{^\circ }}  \\
\end{array}
\)

[img]https://upload.cc/i/fZX6yj.png[/img]

第九題
9.
求不等式\(-3<\left[|\;x-1|\;-6\right]<3\)的解為[u]　　　[/u]。(\(\left[x\right]\)表不大於\(x\)之最大整數)
[解答]
\(高斯函數
[x] \le x{\rm{ < [}}x{\rm{] + 1}}
\)
\(
\begin{array}{l}
{\rm{[| }}x - 1{\rm{ |}} - 6{\rm{] = }} - 2, - 1,0,1,2 \\
  - 2 \le {\rm{| }}x-1{\rm{ |}} - 6{\rm{ < 3}} \\
  5 \le x<10, -8<x \le -3 \\
\end{array}
\)

eyeready 發表於 2017-4-28 20:47

回復 12# 阿光 的帖子

計算3 沒圖形就不理它了
計算 4
(1)應該是
\(36^4-10^4-26^4
\)

z78569 發表於 2017-5-3 11:22

不好意思

請問可以詢問填充8,10的d,13
以及計算題第一題嗎

感謝各位老師！

thepiano 發表於 2017-5-3 12:11

回復 17# z78569 的帖子

計算第1題
設六個正數\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(x\)、\(y\)、\(z\)，滿足\(a+b+c=x+y+z\)，求證：\(\displaystyle \frac{2a^2}{a+x}+\frac{2b^2}{b+y}+\frac{2c^2}{c+z}\ge a+b+c\)。
[解答]
請參考附件

thepiano 發表於 2017-5-3 12:20

回復 17# z78569 的帖子

第 13 題
13.
設\(\displaystyle f(x)=\frac{4^x}{4^x+2}\)，試求\(\displaystyle f(\frac{1}{2017})+f(\frac{2}{2017})+f(\frac{3}{2017})+\ldots+f(\frac{2016}{2017})=\)[u]　　　[/u]。
[提示]
老梗題
f(a) + f(1 - a) = 1

thepiano 發表於 2017-5-3 13:12

回復 17# z78569 的帖子

第8題
已知一雙曲線上任一點\(P(x,y)\)滿足到直線\(4x+y=2\)及\(4x-y=0\)的距離乘積為定值2，則該雙曲線的焦點到中心的距離為[u]　　　[/u]。
[解答]
雙曲線\(\frac{{{\left( x-h \right)}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\frac{{{\left( y-k \right)}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\)上任一點到兩漸近線\(b\left( x-h \right)+a\left( y-k \right)=0,b\left( x-h \right)-a\left( y-k \right)=0\)之距離乘積為定值\(\frac{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\)

\(\begin{align}
  & \left\{ \begin{align}
  & b=4a \\
& \frac{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=2 \\
\end{align} \right. \\
& c=\frac{17}{4}\sqrt{2} \\
\end{align}\)

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