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快樂的秘訣,不是做你所喜歡的事,
而是喜歡你所做的事。

hank930502 發表於 2007-9-12 22:46

gcd和lcm的應用,三數已知兩兩的gcd及lcm,求此三數

a,b,c屬於N,(a,b)=5,(b,c)=2,(c,a)=3,[a,b]=30,[b,c]=120,[c,a]=120
則a=?
b=?
c=?

weiye 發表於 2007-9-13 13:22

∵a, b 皆為正整數 ∴a×b= (a,b)×[a,b] = 150  .........第一式

∵b, c 皆為正整數 ∴b×c= (b,c)×[b,c] = 240  .........第二式

∵c, a 皆為正整數 ∴c×a= (c,a)×[c,a] = 360  .........第三式

由 第一式×第二式×第三式 可得 a^2 × b^2 × c^2 = 150×240×360

(a×b×c)^2 = 3600^2 → a×b×c = 3600   .........第四式

由 第四式÷第一式,可得 c=24

由 第四式÷第二式,可得 a=15

由 第四式÷第三式,可得 b=10

eggsu1026 發表於 2011-8-15 15:41

數值太大,給個數值小的解法,接續weiye老師列出的三個式子

∵a, b 皆為正整數 ∴a×b= (a,b)×[a,b] = 150  .........第一式
∵b, c 皆為正整數 ∴b×c= (b,c)×[b,c] = 240  .........第二式
∵c, a 皆為正整數 ∴c×a= (c,a)×[c,a] = 360  .........第三式

將第二式除以第三式,得 b/a = 2/3
故 a = 3t , b = 2t ,其中 t = (a,b) = 5
故 a = 15 且 b = 10

將 b = 10 代入第二式得 c = 24

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