102國立大里高中數理資優班
求一難題 請大師解析16題到底是否有解 我是算無解 但朋友暴力卻解出1008
請大師解說
16.
解方程式:\( \displaystyle \frac{x-2}{x-3}+\frac{x-2012}{x-2013}=\frac{x-4}{x-5}+\frac{x-2010}{x-2011} \),則\(x=\)[u] [/u]。
[url]http://www.dali.tc.edu.tw/exam/102/mathquiz/title.asp[/url]
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x=1008沒錯,這題不用多暴力吧? \(\displaystyle \left(1+\frac{1}{x-3}\right)+\left(1+\frac{1}{x-2013}\right)=\left(1+\frac{1}{x-5}\right)+\left(1+\frac{1}{x-2011}\right)\)\(\displaystyle \Rightarrow \frac{1}{x-3}+\frac{1}{x-2013}=\frac{1}{x-5}+\frac{1}{x-2011}\)
\(\displaystyle \Rightarrow \frac{1}{x-2013}-\frac{1}{x-5}=\frac{1}{x-2011}-\frac{1}{x-3}\)
\(\displaystyle \Rightarrow \frac{2008}{\left(x-2013\right)\left(x-5\right)}=\frac{2008}{\left(x-2011\right)\left(x-3\right)}\)
\(\displaystyle \Rightarrow \left(x-2013\right)\left(x-5\right)=\left(x-2011\right)\left(x-3\right)\)
\(\Rightarrow x=1008\)
回復 1# hsulc0919 的帖子
\( \displaystyle \frac{x-2}{x-3}=1+\frac{1}{x-3} \)原式\( \displaystyle \Rightarrow \frac{1}{x-3}+\frac{1}{x-2013}=\frac{1}{x-5}+\frac{1}{x-2011} \)
找3,5,2011,2013的中位數 這樣不知道算不算暴力解
還可再用一次除法
(x-2011)/(x-3)=(x-5)/(x-2013),-2008/(x-3)=2008/(x-2013),
x-2013+x-3=0,
x=1008
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