106新竹高中
小弟不才，只能記得這些第5題我記的不是很清楚
想請教版上的高手們
計算題1.3.4.6怎麼做?感謝!
補充
填充4. 印象中是至少一個位數是9 的機率為 \(P_{n}\)計算5.(2) 求 \( \sum\limits^{8}_{k=1}{z_{k}^{7}} \)
6.(1)
明顯的 \( a_{n}>0 \)
因為 \(a_{n}=\displaystyle \frac{2a_{n-1}}{3}+\frac{4}{a_{n-1}^{2}} \geq 3\sqrt[3]{ \frac{a_{n-1}}{3}+ \frac{a_{n-1}}{3}+ \frac{4}{a_{n-1}^{2}}}=\sqrt[3]{12}\) (算幾不等式)，
所以數列 \( a_{n}\) 有下界 \( \sqrt[3]{12} \)
\( a_{n}-a_{n-1}=\displaystyle \frac{2a_{n-1}}{3}+ \frac{4}{a_{n-1}^{2}}-a_{n-1}= \frac{12-a_{n-1}^{3}}{3a_{n-1}^{2}} \leq 0 \) (因為 \(a_{n-1}^{3} \geq 12\) )，
所以數列 \(a_{n}\) 為遞減數列
由實數的完備性知道數列 \(a_{n}\) 收斂
6.(2)
設 \( \lim\limits_{n\rightarrow \infty}{a_{n}}=\alpha \)，則 \(\alpha=\displaystyle \frac{2\alpha}{3}+\ \frac{4}{\alpha^{2}}\) 可以解出 \( \lim\limits_{n\rightarrow \infty}{a_{n}}=\alpha=\sqrt[3]{12} \)
3.
設 \( f : ( 2 , \infty )\rightarrow R \)，\(f(x)=\log_{x-1}{x} \)
\(f(x)=\log_{x-1}{x}=\displaystyle \frac{\ln{x}}{\ln{(x-1)}} \)，\(f'(x)= \displaystyle \frac{\frac{1}{x}\times\ln{(x-1)}-\frac{1}{x-1}\times\ln{x}}{[\ln{(x-1)}]^{2}} \)
因為 \([\ln{(x-1)}]^{2}>0 \)，\(0<\displaystyle \frac{1}{x}< \frac{1}{(x-1)} \)，\( 0=\ln{(2-1)}<\ln{(x-1)}<\ln{x} \)，
所以 \( f'(x)<0 \)，因此 \( f(x) \) 為嚴格遞減函數 回復 1# 新手老師 的帖子
計算第 4 題
\(\Delta ABC\)中，\(\overline{AB}=20\)，\(M\)為\(\overline{AB}\)中點，\(\Delta ABC\)的內切圓三等分\(\overline{CM}\)，求\(\Delta ABC\)面積。
[解答]
\(\begin{align}
& {{\overline{MD}}^{2}}=\overline{MN}\times \overline{MG}=\overline{CG}\times \overline{CN}={{\overline{CF}}^{2}} \\
& \overline{MD}=\overline{CF}=\overline{CE} \\
& \overline{BC}=\overline{BM}=10 \\
\end{align}\)
令\(\overline{CF}=x\)，則\(\overline{AF}=\overline{AD}=20-\left( 10-x \right)=x+10,\overline{CG}=\frac{1}{\sqrt{2}}x,\overline{CM}=\frac{3}{\sqrt{2}}x\)
\(\begin{align}
& {{\overline{AC}}^{2}}+{{\overline{BC}}^{2}}=2{{\overline{CM}}^{2}}+2{{\overline{AM}}^{2}} \\
& {{\left( 2x+10 \right)}^{2}}+{{10}^{2}}=2{{\left( \frac{3}{\sqrt{2}}x \right)}^{2}}+2\times {{10}^{2}} \\
& x=8 \\
& \overline{AC}=26 \\
& \Delta ABC=24\sqrt{14} \\
\end{align}\)
107.4.23補充
\(\Delta ABC\)中，\(\overline{AB}=10\)，\(M\)為\(\overline{AB}\)中點，\(\Delta ABC\)內切圓恰將線段\(\overline{CM}\)三等份，試求\(\Delta ABC\)面積=[u] [/u]。
107中科實中國中部，[url]https://math.pro/db/thread-2943-1-1.html[/url]
回復 1# 新手老師 的帖子
計算第 1 題P 應在正四面體的四個面上
P 在\(\Delta CAB\)和\(\Delta OAB\)上，所形成的面積如圖中的黃色區域
黃色區域面積\(=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\pi }{6}\)
P 在\(\Delta OAC\)和\(\Delta OBC\)上，所形成的面積如圖中的綠色區域
綠色區域面積\(=\frac{\sqrt{3}}{6}+\frac{\pi }{9}\)
所求\(=\left( \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\pi }{6}+\frac{\sqrt{3}}{6}+\frac{\pi }{9} \right)\times 2=\frac{4}{3}\sqrt{3}+\frac{5}{9}\pi \) 幫忙朋友代PO
這是他們多人集結考題後
整理出來的
並非官方正式版本
感謝他們熱心的幫忙^^
回復 5# mathbigtree 的帖子
感謝mathbigtree幫忙整理讓考題完整
感謝thepiano、czk0622老師真的很精彩的想法 想請問計算五的第二小題～謝謝
回復 5# mathbigtree 的帖子
感謝新手老師的PO文感謝mathbigtree幫忙整理
讓考題完整
感謝thepiano、czk0622老師真的很精彩的想法 計算五的第二小題
\(\displaystyle \sum_{k=1}^8 z_k{}^7 = \sum_{k=1}^8 \frac{z_k{}^8}{z_k} = \left(-4+5i\right)\cdot\sum_{k=1}^8 \frac{1}{z_k} = \left(-4+5i\right)\cdot \frac{\left(z_1,z_2,\cdots z_8\mbox{任取7個乘積之和}\right)}{z_1 z_2\cdots z_8}=0\) [quote]原帖由 [i]weiye[/i] 於 2017-4-10 10:26 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=16767&ptid=2727][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
計算五的第二小題
\(\displaystyle \sum_{k=1}^8 z_k{}^7 = \sum_{k=1}^8 \frac{z_k{}^8}{z_k} = \left(-4+5i\right)\cdot\sum_{k=1}^8 \frac{1}{z_k} = \left(-4+5i\right)\cdot \frac{\left(z_1,z_2,\cdots z_8\m ... [/quote]
後面等於0的部分這樣解釋不曉得對不對
[attach]3972[/attach]
考試寫到一半修正帶用完,所以後面寫的一團亂了@@
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話說怎麼沒辦法上傳附件啊 計算證明題 3.
也可以用算幾不等式。 [quote]原帖由 [i]thepiano[/i] 於 2017-4-9 15:15 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=16751&ptid=2727][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
計算第 1 題
P 應在正四面體的四個面上
P 在\(\Delta CAB\)和\(\Delta OAB\)上，所形成的面積如圖中的黃色區域
黃色區域面積\(=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\pi }{6}\)
P 在\(\Delta OAC\)和\(\Delta OBC\)上，所形成的 ... [/quote]
想請問綠色區域怎麼出來的
另外想請問填充3.4
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另外這是我算的答案,不曉得有沒有算錯
填充
1. 469
2. 28/5
5. 5人(這題忘了是哪裡的考古題了)
6. 2*C11取5=924
7. 1417
8. -1/1297
計算
2. (a,b,c,k)=(-3,6,-4,3)
回復 12# g112 的帖子
設AB中點為S,設AC中點為M,設AO中點為N則SA=SM=SN=以AB為直徑之球體的半徑 r,S為球心
所以AMN的外接圓為球體與平面ACO的交圓,P要在球體內部又要在ACO內部,就是那綠色區域了
回復 12# g112 的帖子
填充第 3 題各位數字都沒有9的情形有\({{9}^{n}}-1+1={{9}^{n}}\)種情形
\({{P}_{n}}=1-\frac{{{9}^{n}}}{{{10}^{n}}}\)
填充第 4 題
把 p、q、r 用 x 和 y 表示出來，畫圖求面積
回復 12# g112 的帖子
不一樣的答案：6. C11取5=462
7.100*0.3*20+17=617
作一下記錄：
數學科初試錄取人員計9名(最低錄取分數為54分) [quote]原帖由 [i]thepiano[/i] 於 2017-4-11 12:09 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=16789&ptid=2727][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
填充第 3 題
各位數字都沒有9的情形有\({{9}^{n}}-1+1={{9}^{n}}\)種情形
\({{P}_{n}}=1-\frac{{{9}^{n}}}{{{10}^{n}}}\)
填充第 4 題
把 p、q、r 用 x 和 y 表示出來，畫圖求面積 ... [/quote]
所以第3題真的是1...因為感覺不太合理所以不敢寫=.=
第4題想請問比較詳細的作法
[quote]原帖由 [i]Sandy[/i] 於 2017-4-11 12:11 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=16790&ptid=2727][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
不一樣的答案：
6. C11取5=462
7.100*0.3*20+17=617 [/quote]
第6題 a6可以選6或7,選完之後再分兩堆
第7題 我也考慮過這個答案
是要用(0.3+x)^100還是(0.7+x)^100去套公式
回復 16# g112 的帖子
4.前面鋼琴老師有說過（＃14）
將p,q,r表示成x,y的線性組合後
做線性規劃,可以畫出可行解區
.
7.考慮二項分配B~X(100,0.3)
所求為20E(X)+17=20*(100*0.3）+17＝617
回復 16# g112 的帖子
6.a_6=1 前五項C11 取57. 成功的機率是0.3 公式推導一下就知道了 小弟不才,想請教填充8....謝謝
回復 19# james2009 的帖子
填充第8題若有誤還請指正
\(\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\int_{(3+h)^2}^9 \frac{1}{1+x^4}dx}{h}\)
\(\displaystyle =\lim_{h\to 0}\frac{\frac{-1}{1+(3+h)^8}\cdot 2(3+h)}{1}\)
\(=\displaystyle \frac{-1}{1+3^8}\times 2 \times 3\)
\(=\displaystyle -\frac{3}{3281}\)