6.a_6=1 前五項C11 取5
7. 成功的機率是0.3 公式推導一下就知道了 [/quote]
ok,是我弄錯了,謝謝
第8題看 ichiban 兄的(連微積分基本定理都算錯...我在幹嘛啊orz) 用跟ichban很像又不太像的做法
令\(\displaystyle f(x)=\int_a^x \frac{1}{1+x^4}dx\)
\(\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{1}{h}\int_{(3+h)^2}^9\frac{1}{1+x^4}dx\)
\(\displaystyle =\lim_{h\to 0}\frac{f(9)-f(h(h+6)+9)}{h}\)
\(\displaystyle =\lim_{h\to 0}(h+6)\times \frac{f(9)-f(h(h+6)+9)}{h(h+6)}\)(乘法的左右極限值皆存在)
\(\displaystyle =\lim_{h\to 0}(h+6)\times \lim_{h(h+6)\to 0}\frac{f(9)-f(h(h+6)+9)}{h(h+6)}\)
\(\displaystyle =6\times(-f'(9))\)
\(\displaystyle =\frac{-6}{1+9^4}\)
[img]http://i.imgur.com/VULixtb.png[/img] 54分進複試 [size=3]填充題 4. 實數 p, q, r ≥ 0，且 p + q + r = 1，已知 x = p + 3q + 4r，y = 2p + q + 3r，求點 (x, y) 所圍成的圖形面積。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]以下構想請看是否正確。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]由題意，有下列向量線性關係:[/size]
[size=3][/size]
[size=3](x, y) = p*(1, 2) + q*(3, 1) + r*(4, 3)，p, q, r ≥ 0，p + q + r = 1[/size]
[size=3][/size]
[size=3]⇒ 所求即頂點為 (1, 2)，(3, 1)，(4, 3) 的三角形面積[/size]
[size=3][/size]
[size=3]⇒ 由公式求得 [color=red]5/2[/color][/size]
[size=3][/size]
回復 24# cefepime 的帖子
沒錯,於三角形ABC中,在BC 線段上取一點D使BD;DC=r:q,在CA 線段上取一點E使CE:EA=p:r
在AB 線段上取一點F使AF:FB=q:p ,(q/p)*(r/q)*(p/r)=1, 由西瓦逆定理知AD,BE,CF三線段交於一點K,
由孟氏定理得AK:KD=(r+q):p => K=pA+(r+q)D, 而D=(qB+rc)/(r+q) =>K=pA+qB+rC,故K=(x,y)掃出來的區域即為三角形ABC [b]回復 25# laylay 的帖子[/b]
[size=3]感謝 laylay 老師提供的證明。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]這個解法是這樣聯想到的:[/size]
[size=3][/size]
[size=3]考慮平面上相異三點 O, A, B，若 C 點滿足:[/size]
[size=3][/size]
[size=3]向量OC = p*向量OA + q*向量OB，p, q ≥ 0，p + q = 1
[/size]
[size=3]則 C 點軌跡為 AB 線段。[/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
[size=3]推廣至空間成為:[/size]
[size=3][/size]
[size=3]空間中相異四點 O, A, B, C，若 D 點滿足:
[size=3][/size]
[size=3]向量OD = p*向量OA + q*向量OB + r*向量OC，p, q, r ≥ 0，p + q + r = 1
[/size]
[size=3]則 D 點軌跡為 △ABC 及其內部 (含退化為線段情形)。[/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
[size=3]本題可視為空間中相異四點 O, A, B, C 共面的情況。[/size]
[size=3]
[/size][/size]
回復 11# cefepime 的帖子
第一眼，我也覺得第三題眼熟，可以用算幾但試了一下，沒做出來，如果可用算幾，可否煩麻寫一下
也先來個另證：
令 \( x=\log_{n-1}n \)，則 \( x>1 \) 且 \( (n-1)^{x}=n\Rightarrow(n-1)^{x-1}=\frac{n}{n-1} \)
\( n^{x}=n\cdot n^{x-1}>n\cdot(n-1)^{x-1}=\frac{n^{2}}{n-1}>n+1 \)
\( \Rightarrow x>\log_{n}(n+1) \)，即 \( \log_{n-1}n >\log_{n}(n+1) \)
回復 27# tsusy 的帖子
應該是這樣吧？證：\(\displaystyle \frac{log n}{log(n-1)}>\frac{log(n+1)}{log n}\)
pf:
\(\displaystyle \frac{log n^2}{2}>\frac{log(n-1)+log(n+1)}{2}\ge \sqrt{log(n-1)log(n+1)}\)
\(\displaystyle log n>\sqrt{log(n-1)log(n+1)}\)
\((log n)^2>log(n-1)log(n+1)\) [b]回復 27# tsusy 的帖子[/b]
[size=3]因為不會輸入漂亮的對數符號，當時就沒寫了。當初的構思過程如下:[/size]
[size=3]原題即證: [/size]
[size=3]1 / log_[size=2]n[/size] (n-1) > log_[size=2]n[/size] (n+1)[/size]
[size=3]⇔ 1 > [ log_[size=2]n[/size] (n-1) ]*[ log_[size=2]n[/size] (n+1) ][/size]
[size=3]因同底的對數相乘沒有搞頭，相加則有，故想到算幾不等式 (各項皆正):[/size]
[size=3]√(上式右式) < { [ log_[size=2]n[/size] (n-1) ]+[ log_[size=2]n[/size] (n+1) ] } /2 = [ log_[size=2]n[/size] (n²-1) ] /2 < [ log_[size=2]n[/size] (n²) ] /2 = 1，從而得證。[/size]
[size=3]基本上同 eyeready 老師的方法。[/size] [size=3]計算證明題 3. 試證：log[size=2]_(n-1)[/size] n > log[size=2]_n[/size] (n+1) , n > 2 , n ∈ N。[/size]
[size=3]拼湊一個基於直觀的 "另證" 如下。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]想法: 以 n 為底的指數函數值變化速率，較以 [/size][size=3](n-1) 為底者"快"。當兩者同予以指數 "1" 時，其指數函數值分別為 n 與 (n-1)。現在函數值要再"增加1"，當然是以 n 為底者較快達成，即如待證式含義。 基於這個思維，可以用 "1" 作為待證式中左右兩式的起點，而比較之。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]證明: (注意到底數 >1)[/size]
[size=3][/size]
[size=3]左式 -1[/size]
[size=3][/size]
[size=3]= [ log[size=2]_(n-1)[/size] n ] -1[/size]
[size=3][/size]
[size=3]= log[size=2]_(n-1)[/size] [n/(n-1)][/size]
[size=3][/size]
[size=3]> log[size=2]_(n-1)[/size] [(n+1)/n)] (∵真數變小)[/size]
[size=3][/size]
[size=3]> log[size=2]_n[/size] [(n+1)/n)] (∵底數變大)[/size]
[size=3][/size]
[size=3]= [ log[size=2]_n[/size] (n+1) ] -1[/size]
[size=3][/size]
[size=3]= 右式 -1[/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
[size=3]得證。[/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
回復 30# cefepime 的帖子
第三題，我 #27 的另解，也是基於同樣的想法只是用指數寫，也是在指數做了 \( -1 \) 的操作，在比大小的時候引入 \( n+1\) 各位老師們好，請問填充第五題，人數5人是怎麼找出來的呢??謝謝各位老師。
回復 32# bluewing 的帖子
第 5 題同時喜歡國文和英文的最少有 30 + 35 - 50 = 15 人
把喜歡數學的 40 人分 15 人去喜歡國文，分 20 人去喜歡英文
就可得到三科皆喜歡的至少有 5 人
回復 32# bluewing 的帖子
同時喜歡國文和英文的最少有 30 + 35 - 50 = 15 人,設喜歡國文和英文的有(15+x) 人,x>=0則喜歡國文不喜歡英文的有(15-x)人,喜歡英文不喜歡國文的有(20-x)人,不喜歡國文也不喜歡英文的有x人
為使喜歡三科人數最少(15-x)+(20-x)+x=35-x,這些人全部讓他們喜歡數學,此時可得三科都喜歡的人數至少是(5+x)人
又x>=0,取x=0可得三科都喜歡的人數至少是5人 請教 計算 5，謝謝!!
回復 35# dedekind 的帖子
\(\begin{array}{l}
計算五 第一小題 因為 z^8 + 4 - 5i = (z - z_1 )(z - z_2 )(z - z_3 )...(z - z_8 ) \\
所求=|(z - z_1)(z - z_2 )(z - z_3 )...(z - z_8 )| =|(1 + i)^8 + 4 - 5i| = |20 - 5i| = 5\sqrt {17}
\end{array}
\)
想請教填充2
答案是28/5嗎？如果是用科西消去t、s算出來的，這樣是不是會造成裡頭的兩個t和s的值有打架矛盾的現象？
回復 37# fuji95313 的帖子
答案正確，檢查等號是否成立，不用擔心變數會不會打架回復 3# thepiano 的帖子
想請問鋼琴老師\(
{{\overline{MD}}^{2}}=\overline{MN}\times \overline{MG}
\)
是利用到什麼定理呢?
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查到原因了 來個自問自答
A:圓的外冪性質