複數平面正方形面積最小值和最大值
在複數平面上，\(z\)、\(z^2\)、\(z^3\)所表的點為某一個正方形的三個頂點，則此種正方形面積的最小值與最大值為何？請教本題的最小值與最大值，感恩 題目：在複數平面上，\(z\)、\(z^2\)、\(z^3\) 所表的點為某一正方形的三個頂點，則此種正方形面積的最小值與最大值為何？
解答：
因為 \(z,z^2,z^3\) 在正方形的三個相異的頂點上，
必有一點恰與其餘兩點相鄰，且以此點為中心，將其餘的一點旋轉正或負九十度，可得其餘的另一點。
case 1: \(\displaystyle \frac{z^3-z}{z^2-z}=\pm i\) （分子分母約分一下，再求\(z\)）\(\Rightarrow z=-1\pm i\Rightarrow\) 正方形的邊長\(=\left|z^2-z\right|=\sqrt{10}\)
case 2: \(\displaystyle \frac{z^3-z^2}{z-z^2}=\pm i\) （分子分母約分一下，再求\(z\)）\(\Rightarrow z=\pm i\Rightarrow\) 正方形的邊長\(= \left|z^2-z\right|=\sqrt{2}\)
case 3: \(\displaystyle \frac{z^2-z^3}{z-z^3}=\pm i\) （分子分母約分一下，再求\(z\)）\(\Rightarrow z=\frac{-1\pm i}{2}\Rightarrow\) 正方形的邊長\(\displaystyle= \left|z^3-z^2\right|=\left|z^2 \right|\left|z-1\right|=\sqrt{\frac{5}{8}}\)
因此，正方形的面積只有可能為 \(10,2,\) 或 \(\displaystyle \frac{5}{8}.\)
故，最大值為 \(10\)，最小值為 \(\displaystyle \frac{5}{8}.\)
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