求平面夾角
各位老師,請教底下這題答案有兩個,另一個為y-z=1
請問怎麼寫出另一個答案
(我用截距式算出一組)
設平面\(E\)通過點\(A(0,1,0)\)，\(B(0,0,-1)\)，且與平面\(F\)：\(x+z-3=0\)有一夾角為\(60^{\circ}\)，試求平面\(E\)的方程式。
解
設平面\(E\)的方程式為\(\displaystyle \frac{x}{a}+\frac{y}{1}+\frac{z}{-1}=1\)，即\(x+ay-az-a=0\)
因此，平面\(E\)的一個法向量為\(\vec{n_1}=(1,a,-a)\)
又平面\(F\)的一個法向量為\(\vec{n_2}=(1,0,1)\)，且平面\(E\)與\(F\)有一夾角為\(60^{\circ}\)
故得\( \displaystyle 60^{\circ}=\left| \frac{\vec{n_1}\cdot \vec{n_2}}{\left| \vec{n_1} \right| \left| \vec{n_2} \right|} \right|=\frac{1}{2} \)
\( \Rightarrow \displaystyle \frac{\left| 1 \cdot 1+a \cdot 0+(-a)\cdot 1 \right|}{\sqrt{1^2+a^2+(-a)^2}\times \sqrt{1^2+0^2+1^2}}=\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{\left| 1-a \right|}{\sqrt{2a^2+1}\times \sqrt{2}}=\frac{1}{2} \)
\( \Rightarrow 2(2a^2+1)=4(1-a)^2 \)
解得\( \displaystyle a=\frac{1}{4} \)
故得平面\(E\)的方程式為\( \displaystyle \frac{x}{\frac{1}{4}}+\frac{y}{1}+\frac{z}{-1}=1 \)
即\( 4x+y-z-1=0 \) 在上面的解題過程中，
有假設 平面 \(E\) 的 \(x\) 截距為 \(a\)，
可是有另一種可能，
就是平面 \(E\) 可能沒有 \(x\) 截距，
也就是平面 \(E\) 平行 \(x\)軸，
利用 \(\left(1,0,0\right)\times\vec{AB}\)，可得其此時平面 \(E\) 的法向量，
再帶入 \(A\) 或 \(B\) 點，
即可得此時平面 \(E\) 的方程式。
回復 2# weiye 的帖子
請教W大，這樣就直接解出答案。但夾角的條件就只能來當「驗證」合不合理嗎？ Q1: 圓外一定點往圓做切線會有幾條？→想想幾何圖形，可知答案有兩條。若假設切線斜率，結果求出來只有一條（非重根）那表示什麼？→另一條無斜率。
Q2: 通過空間中一定直線，且與不包含此直線的平面之夾角為60度（非90度）的平面會有幾個？→想想空間中的圖形，可知答案會有兩個。
若假設所求的x截距，結果算出來答案卻只有一個平面，且自假設之後接續的論證也無誤，那[color=Red]另一個答案怎麼會消失了[/color]？
→假設的地方出問題，因為可能[color=Red]無法這樣假設[/color]，那又是什情況會無法這樣假設？→那是個沒有x截距的平面呀
註：這不是跟反證法一樣的原理嗎？
回復 4# weiye 的帖子
感恩頁:
[1]